題意：鏈接

方法：斜率優化DP

解析：這題BZ的數據我也是跪了，特意去網上找到當年的數據後面二十個最大的點都過了。就是過不了BZ。

看到這道題自己第一發DP是這麽推得：

設f[i][j]是第j次分第i個的最大得分。

那麽會推出來$f[i][j]=max(f[k][j-1]+sum[i~k]*sum[1~k-1]或(sum[k~i]*sum[i+1~n]))$然後我發現這個式子的復雜度非常高暫且不說。就光那個或的討論就非常費勁。

於是想了想就放棄了這個念頭。中規中矩的去想。

依照以往的思路設出狀態f[i][j]代表前i個分j次的最大得分。

能推出轉移方程

$f[i][j]=max(f[k][j-1]+sum[k]*(sum[j]-sum[k]))$

之後對於例子手寫一遍看出它的正確性後進行後面的討論

我們發現假設n^2的枚舉是肯定不行的。所以才去一種方式進行維護，由於有k的元素的存在，所以從斜率角度入手。

詳細推導過程就不寫了，得出的結果是：

$\dfrac{f[j][tmp異或1]-f[k][tmp異或1]+sum[k]^2-sum[j]^2}{sum[k]-sum[j]}<=sum[i]$

則說明k比j優。

所以尾部就是維護g[j,k]

代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define K 210
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll sum[N],a[N],f[N][2
 
],q[N];
ll n,k;
int tmp;
ll fy(int j1,int j2,int d)
{
    return f[j1][d]-f[j2][d]+sum[j2]*sum[j2]-sum[j1]*sum[j1];
}
ll fx(int j1,int j2)
{
    return sum[j2]-sum[j1];
}
int main()
{
    scanf("%llu%llu",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%llu",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    tmp=0;
    for(int j=1;j<=k;j++)
    {
        tmp^=1;
        int head=0,tail=0;
        q[head]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(head<tail&&fy(q[head],q[head+1],tmp^1)<=fx(q[head],q[head+1])*sum[i])head++;
            while(head<tail&&fy(q[tail-1],q[tail],tmp^1)*fx(q[tail],i)>=fy(q[tail],i,tmp^1)*fx(q[tail-1],q[tail]))tail--;
            int t=q[head];
            f[i][tmp]=f[t][tmp^1]+sum[t]*(sum[i]-sum[t]);
            q[++tail]=i;
        }
    }
    printf("%llu\n",f[n][tmp]);
}

BZOJ 3675 APIO2014 序列切割 斜率優化DP