一、哈夫曼樹的概念和定義

什麽是哈夫曼樹？

讓我們先舉一個例子。

判定樹：

if(score<60)  
    cout<<"Bad"<<endl;  
else if(score<70)  
    cout<<"Pass"<<endl  
else if(score<80)  
    cout<<"General"<<endl;  
else if(score<90)  
    cout<<"Good"<<endl;  
else  
    cout<<"Very good!"<<endl;  

定義哈夫曼樹之前先說明幾個與哈夫曼樹有關的概念：

路徑： 樹中一個結點到另一個結點之間的分支構成這兩個結點之間的路徑。

路徑長度：路徑上的分枝數目稱作路徑長度。

樹的路徑長度：從樹根到每一個結點的路徑長度之和。

結點的帶權路徑長度：在一棵樹中，如果其結點上附帶有一個權值，通常把該結點的路徑長度與該結點上的權值

之積稱為該結點的帶權路徑長度（weighted path length）

什麽是權值?( From 百度百科 )

　計算機領域中（數據結構）

　　權值就是定義的路徑上面的值。可以這樣理解為節點間的距離。通常指字符對應的二進制編碼出現的概率。

　　至於霍夫曼樹中的權值可以理解為：權值大表明出現概率大！

　　一個結點的權值實際上就是這個結點子樹在整個樹中所占的比例.

　　abcd四個葉子結點的權值為7,5,2,4. 這個7,5,2,4是根據實際情況得到的,比如說從一段文本中統計出abcd四個字母出現的次數分別為7,5,2,4. 說a結點的權值為7,意思是說a結點在系統中占有7這個份量.實際上也可以化為百分比來表示,但反而麻煩,實際上是一樣的.

樹的帶權路徑長度：如果樹中每個葉子上都帶有一個權值，則把樹中所有葉子的帶權路徑長度之和稱為樹的帶

權路徑長度。

設某二叉樹有n個帶權值的葉子結點，則該二叉樹的帶權路徑長度記為：

公式中，Wk為第k個葉子結點的權值；Lk為該結點的路徑長度。

示例：

二、哈夫曼樹的構造

三、哈夫曼樹的在編碼中的應用

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define N 10         // 帶編碼字符的個數，即樹中葉結點的最大個數
#define M (2*N-1)    // 樹中總的結點數目

class HTNode{        // 樹中結點的結構
public: 
	unsigned int weight;
	unsigned int parent,lchild,rchild;
};                    

class HTCode{
public:
	char data;      // 待編碼的字符
	int weight;     // 字符的權值
	char code[N];   // 字符的編碼
};

void Init(HTCode hc[], int *n){
// 初始化，讀入待編碼字符的個數n，從鍵盤輸入n個字符和n個權值
	int i;
	printf("input n = ");
	scanf("%d",&(*n));

	printf("\ninput %d character\n",*n);
 	
	fflush(stdin);
	for(i=1; i<=*n; ++i)
		scanf("%c",&hc[i].data);

	printf("\ninput %d weight\n",*n);
	
	for(i=1; i<=*n; ++i)
		scanf("%d",&(hc[i].weight) );
	fflush(stdin);
}//

void Select(HTNode ht[], int k, int *s1, int *s2){
// ht[1...k]中選擇parent為0，並且weight最小的兩個結點，其序號由指針變量s1，s2指示
	int i;
	for(i=1; i<=k && ht[i].parent != 0; ++i){ 
		; ;
	}
	*s1 = i;

	for(i=1; i<=k; ++i){
		if(ht[i].parent==0 && ht[i].weight<ht[*s1].weight)
			*s1 = i;
	}

	for(i=1; i<=k; ++i){
		if(ht[i].parent==0 && i!=*s1)
			break;
	}
	*s2 = i;

	for(i=1; i<=k; ++i){
		if(ht[i].parent==0 && i!=*s1 && ht[i].weight<ht[*s2].weight)
			*s2 = i;
	}
}

void HuffmanCoding(HTNode ht[],HTCode hc[],int n){
// 構造Huffman樹ht，並求出n個字符的編碼
	char cd[N];
	int i,j,m,c,f,s1,s2,start;
	m = 2*n-1;
	
	for(i=1; i<=m; ++i){
		if(i <= n)
			ht[i].weight = hc[i].weight;
		else
			ht[i].parent = 0;
		ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = 0;
	}

	for(i=n+1; i<=m; ++i){
		Select(ht, i-1, &s1, &s2);
		ht[s1].parent = i;
		ht[s2].parent = i;
		ht[i].lchild = s1;
		ht[i].rchild = s2;
		ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;
	}

	cd[n-1] = ‘\0‘;

	for(i=1; i<=n; ++i){
		start = n-1;
		for(c=i,f=ht[i].parent; f; c=f,f=ht[f].parent){
			if(ht[f].lchild == c)
				cd[--start] = ‘0‘;
			else
				cd[--start] = ‘1‘;
		}
		strcpy(hc[i].code, &cd[start]);
	}
}


int main()
{
	int i,m,n,w[N+1];
	HTNode ht[M+1];
	HTCode hc[N+1];
	Init(hc, &n);     // 初始化
 	HuffmanCoding(ht,hc,n);   // 構造Huffman樹，並形成字符的編碼

	for(i=1; i<=n; ++i)  
		printf("\n%c---%s",hc[i].data,hc[i].code);  
	printf("\n");

	return 0;
}

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