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作者提示：在閱讀本文之前，請確保您已經理解並掌握了基本的Tarjan算法，不會的請到http://hi.baidu.com/lydrainbowcat/blog/item/42a6862489c98820c89559f3.html閱讀。

基本概念：

1.割點：若刪掉某點後，原連通圖分裂為多個子圖，則稱該點為割點。

2.割點集合：在一個無向連通圖中，如果有一個頂點集合，刪除這個頂點集合，以及這個集合中所有頂點相關聯的邊以後，原圖變成多個連通塊，就稱這個點集為割點集合

3.點連通度：最小割點集合中的頂點數。

4.割邊(橋)：刪掉它之後，圖必然會分裂為兩個或兩個以上的子圖。

5.割邊集合：如果有一個邊集合，刪除這個邊集合以後，原圖變成多個連通塊，就稱這個點集為割邊集合。

6.邊連通度：一個圖的邊連通度的定義為，最小割邊集合中的邊數。

7.縮點：把沒有割邊的連通子圖縮為一個點，此時滿足任意兩點之間都有兩條路徑可達。

註：求塊<>求縮點。縮點後變成一棵k個點k-1條割邊連接成的樹。而割點可以存在於多個塊中。

8.雙連通分量：分為點雙連通和邊雙連通。它的標準定義為：點連通度大於1的圖稱為點雙連通圖，邊連通度大於1的圖稱為邊雙連通圖。通俗地講，滿足任意兩點之間，能通過兩條或兩條以上沒有任何重復邊的路到達的圖稱為雙連通圖。無向圖G的極大

Tarjan算法的應用論述：

1.求強連通分量（見上一篇文章，本文第一行有鏈接）、割點、橋、縮點：

對於Tarjan算法中，我們得到了dfn和low兩個數組，

low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)為後向邊，v不是u的子樹；

low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)為樹枝邊，v為u的子樹；

下邊對其進行討論：

若low[v]>=dfn[u],則u為割點，節點v的子孫和節點u形成一個塊。因為這說明v的子孫不能夠通過其他邊到達u的祖先，這樣去掉u之後，圖必然分裂為兩個子圖。這樣我們處理點u時，首先遞歸u的子節點v，然後從v回溯至u後，如果發現上述不等式成立，則找到了一個割點u，並且u和v的子樹構成一個塊。

void tarjan(int x)
{
v[x]=1,dfn[x]=low[x]=++num;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
if(!v[ver[i]])
{
tarjan(ver[i]);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
if(dfn[x]<=low[ver[i]]) v[x]++;
}
else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
if((x==1&&v[x]>2)||(x>1&&v[x]>1)) v[x]=2; else v[x]=1;//v[x]=2表示該點為割點，註意其中第一個點要特判
}

若low[v]>dfn[u],則(u,v)為割邊。但是實際處理時我們並不這樣判斷，因為有的圖上可能有重邊，這樣不好處理。我們記錄每條邊的標號（一條無向邊拆成的兩條有向邊標號相同），記錄每個點的父親到它的邊的標號，如果邊(u,v)是v的父親邊，就不能用dfn[u]更新low[v]。這樣如果遍歷完v的所有子節點後，發現low[v]=dfn[v]，說明u的父親邊(u,v)為割邊。

void tarjan(int x)
{
vis[x]=1;
dfn[x]=low[x]=++num;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
if(!vis[ver[i]])
{
p[ver[i]]=edge[i];//記錄父親邊
tarjan(ver[i]);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
}
else if(p[x]!=edge[i])//不是父親邊才更新
low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
if(p[x]&&low[x]==dfn[x]) f[p[x]]=1;//是割邊
}

2.求雙連通分量以及構造雙連通分量：

對於點雙連通分支，實際上在求割點的過程中就能順便把每個點雙連通分支求出。建立一個棧，存儲當前雙連通分支，在搜索圖時，每找到一條樹枝邊或後向邊(非橫叉邊)，就把這條邊加入棧中。如果遇到某時滿足DFS(u)<=Low(v)，說明u是一個割點，同時把邊從棧頂一個個取出，直到遇到了邊(u,v)，取出的這些邊與其關聯的點，組成一個點雙連通分支。割點可以屬於多個點雙連通分支，其余點和每條邊只屬於且屬於一個點雙連通分支。

對於邊雙連通分支，求法更為簡單。只需在求出所有的橋以後，把橋邊刪除，原圖變成了多個連通塊，則每個連通塊就是一個邊雙連通分支。橋不屬於任何一個邊雙連通分支，其余的邊和每個頂點都屬於且只屬於一個邊雙連通分支。

一個有橋的連通圖，如何把它通過加邊變成邊雙連通圖？方法為首先求出所有的橋，然後刪除這些橋邊，剩下的每個連通塊都是一個雙連通子圖。把每個雙連通子圖收縮為一個頂點，再把橋邊加回來，最後的這個圖一定是一棵樹，邊連通度為1。

統計出樹中度為1的節點的個數，即為葉節點的個數，記為leaf。則至少在樹上添加(leaf+1)/2條邊，就能使樹達到邊二連通，所以至少添加的邊數就是(leaf+1)/2。具體方法為，首先把兩個最近公共祖先最遠的兩個葉節點之間連接一條邊，這樣可以把這兩個點到祖先的路徑上所有點收縮到一起，因為一個形成的環一定是雙連通的。然後再找兩個最近公共祖先最遠的兩個葉節點，這樣一對一對找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有點收縮到了一起。

3.求最近公共祖先（LCA）

在遍歷到u時，先tarjan遍歷完u的子樹，則u和u的子樹中的節點的最近公共祖先就是u,並且u和【u的兄弟節點及其子樹】的最近公共祖先就是u的父親。註意到由於我們是按照DFS順序遍歷的，我們可用一個color數組標記，正在訪問的染色為1，未訪問的標記為0，已經訪問到即在【u的子樹中的】及【u的已訪問的兄弟節點及其子樹中的】染色標記為2，這樣我們可以通過並查集的不斷合並更新，通過getfather實現以上目標。

void tarjan(int x)
{
fa[x]=x,color[x]=1;
int i,y;
for(i=head[x];i;i=next[i])
if(color[y=ver[i]]==0)
{
tarjan(y);
fa[y]=x;
}
for(i=headquery[x];i;i=nextquery[i])
if(color[y=query[i]]==2) ans[i]=get(y);
color[x]=2;
}

參考例題：Poj 1523、2942、3694、3352、3177 Tyvj P1111

註：本文部分內容摘自BYVoid神牛的Blog：http://www.byvoid.com/blog/biconnect/

（轉）Tarjan應用:求割點/橋/縮點/強連通分量/雙連通分量/LCA(最近公共祖先)