HDU3032 Nim or not Nim 解題報告：思路與證明

　　　　　　胡明曉

Description

Alice and Bob is tired of playing Nim under the standard rule, so they make a difference by also allowing the player to separate one of the heaps into two smaller ones. That is, each turn the player may either remove any number of objects from a heap or separate a heap into two smaller ones, and the one who takes the last object wins.

Input

Input contains multiple test cases. The first line is an integer 1≤T≤100, the number of test cases. Each case begins with an integer N, indicating the number of the heaps, the next line contains N integers s₀₀, s₁₁, ...., s_N?1N?1, representing heaps with s₀₀, s₁₁, ..., s_N?1N?1 objects respectively.(1≤N≤10⁶

Output

For each test case, output a line which contains either "Alice" or "Bob", which is the winner of this game. Alice will play first. You may asume they never make mistakes.

解題思路

Nim遊戲的SG函數計算如下：

g(x) = mex{g(y) | y是x的後繼狀態}，其中mex S表示S中未出現的最小非負整數。

g(x₀)=0。（x₀為終止狀態）

設狀態用石子數向量(a₁

將一堆石子分成兩堆，等於將一個一堆的Nim遊戲A變成兩個一堆遊戲的和B，這兩個一堆遊戲之和也是A的後繼狀態。計算A的SG函數時，除了考慮普通後繼狀態之外，還要將B的SG值加入mex計算，而B的SG值是兩個成員遊戲SG值的異或◎（根據和遊戲定理）。

下面計算單堆狀態的SG函數。

g(0)=0,

g(1)=mex{g(0)}=1,

g(2)=mex{g(0), g(1), g(1,1)}=mex{ g(0), g(1), g(1)◎g(1))=2,

g(3))=mex{g(0), g(1), g(2), g(1)◎g(2))=mex{0,1,2,3}=4,

g(4)=mex{g(0), g(1), g(2), g(3), g(1)◎g(3)), g(2)◎g(2))=mex{0,1,2,4,5,0}=3,

g(5)=mex{g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(1)◎g(4), g(2)◎g(3))

=mex{0,1,2,4,3, 1◎3, 2◎4}=5,

g(6)=mex{0,1,2,4,3, 5, 1◎5, 2◎3, 4◎4}=6,

g(7)=mex{0,1,2,4,3, 5, 6, 1◎6, 2◎5, 4◎3}=8,

g(8)=mex{0,1,2,4,3, 5, 6, 8,1◎8, 2◎6, 4◎5, 3◎3}=7,

g(9)=mex{0,1,2,4,3,5,6,8,7, 1◎7, 2◎8, 4◎6, 3◎5}=9,

……

發現規律是g(a)=a，但g(4k+3)與g(4k+4)的值對調一下。即

　　g(a)=a (a=4k+1或4k+2)

　　g(a)=4k+4 (a=4k+3) (*)

　　g(a)=4k+3 (a=4k+4)

嚴格的證明如下。

證明：設a=4k+r（r=1,2,3,4），k=0,1,……，即按k分成4個一組，對組號k進行數學歸納。

為敘述方便，將後繼狀態的SG值集合劃分成兩類：S₁和S₂，分別表示單狀態和分解狀態的值，即S₁={g(0),g(1),…g(a-1)}，S₂={g(a₁)◎g(a₂) | a₁+a₂=a，a₁>0，a₂>0}。g(a)=mex S=mex(S₁∪S₂)。

當k=0時，顯然成立。

假設當k<=m時(*)式成立，於是可以列出非零狀態a和g(a)的二進制末兩位後綴對應情況，如下表：

　　　　表1

進一步，a₁、a₂和g(a₁)◎g(a₂)的二進制末兩位後綴對應情況如下表：

　　　　表2

當k=m+1時，對k組的4個狀態a分別證明。

（1）a=4k+1

a的後綴是01，由歸納假設，S₁中0,1,…,a-1各出現一次，而S₂中只有10後綴的值，沒有01後綴的值（見表2陰影格子），所以g(a)=a。符合(*)式結果。

（2）a=4k+2

a的後綴是10，由歸納假設及情形（1），S₁中0,1,…,a-1各出現一次，而S₂中有00、01後綴的值，沒有10後綴的值（見表2），所以g(a)=a。符合(*)式結果。

（3）a=4k+3

a的後綴是11，由歸納假設及情形（1）（2），S₁中0,1,…,a-1各出現一次，而S₂中全是11後綴的值（見表2），而且能取到a值本身（作分解a=1+(a-1)即能），所以g(a)=a+1=4k+4。符合(*)式結果。

（4）a=4k+4

a的後綴是00，由歸納假設及情形（1）（2）（3），S₁中0,1,…,a-2,a各出現一次，a-1沒出現，而S₂中有00、01後綴的值，沒有11後綴的值（見表2），也不可能出現a-1，所以g(a)=a-1=4k+3。符合(*)式結果。

總之，k=m+1時，（*）式也成立。證畢。

參考代碼：

（待加）

HDU3032_NimOrNotNim解題報告