方法 了解 誤差 浮點 alt wid 方式 進行 必須

0、開篇：

（1）二進制數0.1，用十進制數表示的話是多少？ 0.5 （2）用小數點後有3位的二進制數，能表示十進制數0.625嗎？ 可以，0.101 （3）將小數分為符號、尾數、基數、指數4部分進行表現的形式稱為什麽？ 浮點數（浮點數形式） （4）二進制數的基數是什麽？ 2 （5）通過把0作為數值範圍的中間值，從而在不使用符號位的情況下來表示負數的表示方法稱為什麽？ EXCESS系統表示（EXCESS是“剩余的”的意思。例如，把01111111看作是0的話，比這個數小1的01111110就是-1） （6）10101100.01010011這個二進制數，用十六進制數表示的話是多少？ AC.53

1、將0.1累加100次也得不到10

2、用二進制數表示小數

　　先來一個熱身，把1011.0011這個有小數點的二進制數轉換成十進制數（前面章節已經講過了用二進制來表示整數的方法，其實小數也一樣），如下圖所示：

　　

3、計算機運算出錯的原因

　　 通過第2節的學習，大家應該也能大概知道計算機運算出錯的原因了：是因為“有一些十進制數的小數無法轉換成二進制數”。例如十進制數0.1，就無法用二進制數正確表示，小數點後面即使有幾百位也無法表示。

　我們就看小數點後4位用二進制數表示時的數值範圍0.0000~0.1111，如下圖所示：

　　

　　這裏只能表示0.5 、 0.25 、 0.125 、0.0625這四個二進制數小數點後面的位權組合而成（相加總和）的小數。再回到我們要表示的0.1，怎麽加都無法加到0.1的，只會變成0.00011001100...（1100的循環），不信你可以去試試。

說到這裏，大家應該都能明白為什麽將0.1累加100次也得不到10的原因了把，因為無法正確表示的數值，最後都變成了近似值。計算機是一個功能有限的機器設備，是無法處理無限循環的小數的，一般計算機都會從中間截斷。

4、什麽是浮點數

　　像1011.0011這樣帶小數點的表現形式，完全是紙面上的二進制數表現形式，在計算機內部是無法使用的。這一章節主要是說明計算機是以什麽樣的表現形式來處理小數。很多編程語言中都提供了兩種表示小數的數據類型，分別是雙精度浮點數與單精度浮點數。雙精度浮點數類型用64位、單精度浮點數用32位來表示全體小數。從C語言中，雙精度浮點數類型和單精度浮點數類型分別用double和float來表示。

　　浮點數是指符號、尾數、基數和指數這四個部分來表示的小數，如下圖：

　　

　　因為計算機內部使用的是二進制，所以基數自然就是2.因此，實際的數據中往往不考慮基數，只用符號、尾數、指數這三部分即可表示浮點數。也就是說，64位（雙精度浮點數）和32位（單精度浮點數）的數據，會被分為三部分來使用，如下圖展示：

　　

　① 符號部分：是指使用一個數據位來表示數值的符號。該數據位是1時表示負，為0時則表示“正或者0”。 ② 尾數部分：數值大小的決定部分之一（另外一個是指數部分）。尾數部分用的是“將小數點前面的值固定為1的正則表達式”。 ③ 指數部分：用的則是EXCESS系統表現。

5、正則表達式和EXCESS系統

　　 ① 尾數部分使用正則表達式，可以將表現形式多樣的浮點數統一為一種表現形式。例如十進制的0.75就有很多種表現形式：

　　　

正因為表現形式太多，計算機處理時就會比較麻煩。因此，為了方便計算機處理，需要制定一個統一的規則。例如，十進制數的浮點數應該遵循“小數點前面是0，小數點後面第1位不能是0”這樣的規則。根據這個規則，0.75就是“0.75 * 10的0次冪”，也就是說，只能用尾數部分是0.75、指數部分是0這個方法來表示。根據這個規則來表示小數的方式，就是正則表達式。 二進制數也是同樣的道理，在二進制數中，我們使用的是“將小數點前面的值固定為1的正則表達式”。具體來講，就是將二進制數表示的小數左移或右移（這裏是邏輯移位。因為符號位是獨立的）數次後，正數部分的第1位變為1，第2位之後都變為0（這樣是為了消除第2位以上的數位）。而且，第1位的1在實際的數據中不保存。由於第1位必須是1，因此，省略該部分後就節省了一個數據位，從而也就可以表示更多的數據範圍。 下圖是單精度浮點數的正則表達式的具體例子（單精度浮點數中，尾數部分是23位）：

　　

6、在實際的程序中進行確認

　　對EXCESS系統與正則表達式了解了嗎，如果還沒有了解，就返回上一小節再看一看，我也是看了幾遍才看懂的，如果看懂了，就往下看，用C語言程序來確認單精度浮點數表示方法。

7、如何避免計算機計算出錯　

　 計算機計算出錯的原因之一是采用浮點數來處理小數（另外，也有因“位溢出”而造成計算錯誤的情況）。作為程序的數據類型，不管是使用單精度浮點數還是雙精度浮點數，都存在計算出錯的可能性。接下來會介紹兩種避免該問題的方法。 ① 回避策略，即無視這個錯誤，只要得到近似值就可以了，那些微小的誤差完全可以忽略掉。 ② 把小數轉換成正數來計算。

8、二進制數和十六進制數　

　 最後補充說明一下二進制數和十六進制數的關系。在實際程序中，如果二進制位數太多，看起來會比較麻煩，因此，在實際程序中，也經常會用十六進制數來代替二進制數。二進制數的4位，正好相當於十六進制數的1位。例如，32位二進制數00111101110011001100110011001101用十六進制數來表示的話，就是3DCCCCCD這個8位數。由此可見，通過使用十六進制數，二進制數的位數能夠縮短至原來的1/4 。 用十六進制數來表示二進制小數時，小數點後的二進制數的4位同樣相當於十六進制的1位。不夠4位時用0填補二進制數的低位即可。例如，1011.011的低位補0後為1011.0110，這時就可以表示為十六進制數B.6 。 　

三：計算機進行小數運算時出錯的原因