題目

阿申準備報名參加GT考試，準考證號為N位數X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望準考證號上出現不吉利的數字。
他的不吉利數學A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出現是指X1X2...Xn中沒有恰好一段等於A1A2...Am. A1和X1可以為0

INPUT

第一行輸入N,M,K.接下來一行輸入M位的數。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

OUTPUT

阿申想知道不出現不吉利數字的號碼有多少種，輸出模K取余的結果.

SAMPLE

INPUT

4 3 100
111

OUTPUT

81

解題報告

　　這道題一開始真心沒有什麽思路，後來我跟兩個dalao一起商（luan）談（gao）了一個來小時，終於搞了出來= =


　　首先，我們我們考慮兩個串（從短到長）
　　第一個串為不斷增加的準考證號，第二個串為不吉利的號碼，第一個串的後綴與第二個串的前綴為重復部分，那麽我們很容易得出遞推關系

　　先扯出來，考慮兩個集合，一個集合為不吉利的號碼，一個集合為吉利的號碼。我們只考慮後綴（正確性顯然，因為長度長的串一定是由長度短的串遞推過來的，所以如果前面有不吉利串，一定被前面的串卡掉了），當後綴包含了m個不吉利串，該串一定是不吉利的。那麽，後綴包含0~m-1個不吉利串的前綴的串一定是吉利的。所以，我們把求不吉利的串 轉化為 求 後綴包含不吉利串0~m-1 的 串 的 方案數

　　然而與字符串有啥關系？
　　考慮這樣一個不吉利串

　　　　123124

　　當你的後綴帶了2時，你怎麽知道你的後幾位是12還是12312？所以，加一位不吉利數不代表直接在後面加了一位。
　　那麽，問題來了，如何表示這些奇（chun）奇（de）怪（bu）怪（xing）的轉移？
　　考慮一個遞推矩陣，設dp[i][j]為第i個號碼匹（zhuan）配（yi）到第j個不吉利數字的方案數，設a[k][i]為k位後加一個數轉移到j的方案數，我們可以輕易的得出遞推關系：

　　　　　　dp[i][j]=/sumdp[i-1][k]*a[k][j] 　

　　用KMP構造初始矩陣，矩陣快速冪得到遞推結果。

　　為什麽是矩陣快速冪？
　　這個問題很簡單。我們知道，矩陣乘是這樣寫的：

 1 martrix tmp;
 2 for(int i=0;i<n;i++)
 3     for(int j=0;j<n;j++){
 4         tmp.data[i][j]=0;
 5         for(int k=0;k<n;k++){
 6             tmp.data[i][j]+=(a.data[i][k]*b.data[k][j]);
 7             tmp.data[i][j]%=mod;
 8         }
 9     }
10 return tmp;

　　那麽問題就簡單起來了，考慮一個3*3的初始矩陣，第i行，第j列表示從第i位加一個數字轉移到第j為數字的方案數，那麽以該矩陣的平方的第一行第一列的數為例，（設初始矩陣為a，該矩陣為x）：
　　x[1][1]=a[1][1]×a[1][1]+a[1][2]×a[2][1]+a[1][3]×a[3][1];
　　因為是平方得到的矩陣，所以代表了轉移兩步的狀態，我們知道，x[1][1]代表了從第一位經兩步轉移到第一位的方案數，由加法原理可知：
　　1->1(經兩步)=(1->1->1)+(1->2->1)+(1->3->1)
　　而又由乘法原理可知：
　　1->2->1=(1->2)×(2->1)
　　那麽正確性就很顯然了，由矩陣快速冪的遞推關系可知，最終結果即為第一行的數的和
　　至於KMP，把10個數字扔進去亂搞就是了= =
　　記得要模k= =

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int n,m,mod;
 6 char s[25];
 7 int kp[25];
 8 inline void get_kp(){
 9     kp[0]=0;
10     kp[1]=0;
11     int k(0);
12     for(int i=2;i<=m;i++){
13         while(k&&s[k]!=s[i-1])
14             k=kp[k];
15         if(s[k]==s[i-1])
16             k++;
17         kp[i]=k;
18     }
19 }
20 struct node{
21     int data[25][25];
22     node(){
23         memset(data,0,sizeof(data));
24     }
25     node operator*(node &a){
26         node tmp;
27         for(int i=0;i<m;i++)
28             for(int j=0;j<m;j++){
29                 tmp.data[i][j]=0;
30                 for(int k=0;k<m;k++){
31                     tmp.data[i][j]+=(data[i][k]*a.data[k][j]);
32                     tmp.data[i][j]%=mod;
33                 }
34             }
35         return tmp;
36     }
37     node operator*=(node &a){
38         *this=*this*a;
39         return *this;
40     }
41 }a,sing;
42 ostream& operator<<(ostream &out,node &a){
43     for(int i=0;i<m;i++){
44         for(int j=0;j<m;j++)
45             out<<a.data[i][j]<<‘ ‘;
46         out<<endl;
47     }
48     return out;
49 }
50 int main(){
51     scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s);
52     get_kp();
53     for(int i=0;i<m;i++)
54         for(int j=0;j<=9;j++){
55             int k(i);
56             while(k&&(j+‘0‘)!=s[k])
57                 k=kp[k];
58             if(j+‘0‘==s[k])
59                 k++;
60             if(k!=m){
61                 a.data[i][k]++;
62                 a.data[i][k]%=mod;//cout<<‘*‘;
63             }
64         }//cout<<a<<endl;
65     /*for(int i=0;i<m;i++){
66         for(int j=0;j<m;j++)
67             cout<<a[i][j]<<‘ ‘;
68         cout<<‘\n‘;
69     }*/
70     for(int i=0;i<m;i++)
71         sing.data[i][i]=1;
72     int tmp(n);
73     while(tmp){
74         if(tmp&1)
75             sing*=a;
76         a*=a;
77         //cout<<tmp<<endl;
78         //cout<<a<<endl<<sing<<endl;
79         tmp>>=1;
80     }
81     int ans(0);
82     for(int i=0;i<m;i++){
83         ans=(ans+sing.data[0][i])%mod;
84         //cout<<ans<<endl;
85     }
86     cout<<ans;
87     //while(1);
88 }

ps：2017-6-14 晚 講題用題解
pss：調矩陣快調死了= =，最後發現初始矩陣求錯了= =

[補檔][HNOI 2008]GT考試