題目梗概

n個單位的路程，主角每次最多可以走k個單位(也就是每次可以走1-k個單位)，問最後到第n個監獄的方法數。

思考

DP轉移方程並不難推導:

dp[i]表示第i個監獄的方法數

$dp\left [ i \right ] = dp\left [ i-1 \right ] + dp\left [ i-2 \right ]\cdots \cdots + dp\left [ i-k-1 \right ]$

但是這個n有點太大了，所以我們需要對DP方程進行優化。

仔細觀察轉移方程會發現，每次都是加上 上一個，減去上一個的末尾。 所以這種形式我們就可以用矩陣來進行優化了。

#include <iostream>
#include 
 
<cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 25;
const int MOD = 7777777;
typedef long long LL;
int t,m,n,k;
struct Mat
{
LL s[12][12];
}a,b;
Mat multiply(Mat x, Mat y)
{
    Mat c;
    memset(c.s,
 
0,sizeof(c.s));
    for(int i = 0;i < k; ++i)
        {
            for(int j = 0;j < k; ++j)
            {
                for(int z = 0; z < k; ++z)
                {
                    c.s[i][j] += x.s[i][z] * y.s[z][j];
                    c.s[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
    
 
return c;
}
void init()
{
    memset(a.s,0,sizeof(a.s));
    memset(b.s,0,sizeof(b.s));
        //這裏看不懂的看我下面的圖片
    a.s[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < k; ++i)
    {
        a.s[i][i-1] = 1;
        a.s[0][i] = 1;
    }
    for(int i = 0; i < k;i++)
    b.s[i][0] = 1;
}
LL calc(){
    while(n)//矩陣快速冪
    {
        if(n & 1)
        b = multiply(b,a);
        a = multiply(a,a);
        n >>= 1;
    }
    return b.s[0][0];
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&k,&n))
    { 
    init();
    LL ans = calc();
    printf("%lld\n",ans);
    }
}

首先看我這個Tex，我們假定k是2，建立一個2*2的矩陣,就拿樣例說吧。

n=1

n=2

n=3

n=4

這個2*2的矩陣是輔助作用，它有什麽作用呢？首先按照矩陣乘法，產生的新矩陣的第一行儲存的是當前dp[i]的值,第二行儲存的是是dp[i-1]的值，用矩陣相乘的形式，來計算DP方程。但是時間復雜度O(n)，那還不是等於沒優化嗎？

這時候我們就可以使用矩陣快速冪(時間復雜度${log_{2}}^{n}$)，矩陣快速冪不懂的去百度教程。

再簡述一下為什麽矩陣快速冪是可行的:

因為矩陣乘法具有結合律 A*B*C=A*C*B

所以$A\times B^{n} = A\times B^{n-2}\times B^{2}=A \times B^{2} \times B^{n-2}$

[矩陣乘法][DP]Vijos1067 Warcraft III 守望者的煩惱