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[jzoj]5966. 【NOIP2018提高組D2T3】保衛王國（矩陣乘法+鏈剖維護線段樹 或 倍增DP）

阿新 • • 發佈：2018-12-10

Problem

  • 弱化版動態詢問一棵樹的最小覆蓋集.

  • 每次只選擇其中某兩個點必選或必不選，且詢問獨立.

Data constraint

  • n , m ≤ 1 0
    5 n,m\le 10^5

Solution

【動態DP = 樹鏈剖分 + 線段樹 + 矩陣轉移】

  • 這好像是 W C 2018

    WC_{2018} 搞出來的一個新玩意兒，挺神奇的.

  • 首先，最小覆蓋集 = 全集 - 最大獨立集.

  • 其次，一個點必選或不必選，可以直接把他的權值賦值為無窮大，或無窮小.

  • 這樣，問題完美轉化為求解一棵樹的最大獨立集.

  • 一個小學四年級的DP是 f [

    i ] [ 0 / 1 ] f[i][0/1] 表示 i i 點選或不選，最大收益.

  • 先樹剖一下，然後一個初三的DP是，設一個 g [ i ] [ 0 / 1 ] g[i][0/1] 表示與 f f 含義相同，唯獨不能用重兒子去轉移.

  • 這樣有什麼好處？

  • 我們不妨用 i i 表示當前要計算 f f 的點，假設它線上段樹上的編號也是 i i ，那麼它的重兒子線上段樹上的編號就是 i + 1 i+1 .

  • 那麼你可以寫出這樣的兩條式子： f [ i ] [ 0 ] = g [ i ] [ 0 ] + m a x ( f [ i + 1 ] [ 0 ] , f [ i + 1 ] [ 1 ] ) f[i][0] = g[i][0] + max(f[i+1][0], f[i+1][1]) f [ i ] [ 1 ] = g [ i ] [ 1 ] + f [ i + 1 ] [ 0 ] f[i][1] = g[i][1] + f[i+1][0] .

  • 然後神奇的一步出現，你考慮把它寫成矩陣轉移的形式，會變成： [ g i , 0 g i , 0 g i , 1 0 ] ∗ [ f i + 1 , 0 f i + 1 , 1 ] = [ f i , 0 f i , 1 ] \begin{bmatrix}g_{i, 0} & g_{i, 0} \\g_{i, 1} & 0\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}f_{i + 1, 0} \\ f_{i + 1, 1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{i, 0} \\ f_{i, 1}\end{bmatrix}

  • 這裡需要注意，普通的矩陣乘法形式是形如： C i , j = ∑ k = 1 n A i , k ∗ B k , j C_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} * B_{k, j}

  • 而這裡，我們把它改變一下，變成 C i , j = max ⁡ k = 1 n ( A i , k + B k , j ) C_{i, j} = \max_{k = 1}^{n} (A_{i, k} + B_{k, j})

  • 並且發現後者也是滿足所謂的結合律的.

  • 那麼不難發現，其實一個點的答案，就是它所在重鏈的每一個節點的g矩陣乘起來.

  • 因為滿足結合律，所以剛好可以用鏈剖+線段樹來維護.

  • 然後考慮修改，假設修改一個點 x x 的權值，那麼其實父親的 g g 矩陣不會改變，I.e.其所在重鏈的所有祖先的 g g 矩陣不會改變.

  • 會改變的僅僅是 x x 本身的 g g 矩陣，以及所在重鏈每一個祖先的 f f 值（答案）.

  • 因為會影響祖先的 f f 值，所以在經過完這條重鏈後走一條輕邊到達另一條重鏈時，會影響到那條鏈上的 g g 矩陣.

  • 所以我們的修改步驟就很明確了：

    • 先修改當前權值，然後處理一下 g g 矩陣.

    • 然後進入迴圈，一直向頂端去修改.

  • 具體實現的時候，實際上我們可以記錄一個 b [ x ] b[x] 表示 x x 這個點線上段樹上的編號.

  • 那麼修改一個點的 g g 矩陣直接修改即可，然後暴力的往上跳，進行合併即可.

  • 這樣常數會小很多，且可以優化一下這個轉移，把它不要真的寫成取max，這樣太慢.

  • 參考程式碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define ll long long
#define F(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i ++)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define mec(a, b) memcpy(a, b, sizeof a)
#define mx(a, b) ((a) = max(a, b))
#define get getchar()

#define M (st + en >> 1)
#define Ls (x << 1)
#define Rs (Ls | 1)

const ll N = 2e5 + 10, T = 4 * N, W = 1e15;

using namespace std;

ll n, m, u, v, a, x, b, y, t, cnt, Sum, sum, DFN[N], V[N]; char ch[10];
ll sz[N], fa[N], Son[N], top[N], dfn[N], f[N][2], B[N], D[N];
ll tov[T], nex[T], las[N], tot, S0, S1;

struct mat {
	ll g[2][2];
	mat() { mem(g, 0); }
	inline mat operator * (const mat &b) const { mat c;
		c.g[0][0] = max(g[0][0] + b.g[0][0], g[0][1] + b.g[1][0]);
		c.g[0][1] = max(g[0][0] + b.g[0][1], g[0][1] + b.g[1][1]);
		c.g[1][0] = max(g[1][0] + b.g[0][0], g[1][1] + b.g[1][0]);
		c.g[1][1] = max(g[1][0] + b.g[0][1], g[1][1] + b.g[1][1]);
		return c;
	}
} tr[T], TR
            
  

           

              
              

            

            
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           ⋅
          
          
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 #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace  



  
 

    


    
    
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【NOIP2018提高組D1T1】鋪設道路

     
  
  
  
  
  這題不用講了吧，一遍掃直接過 
  
 #include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[100010],ans=0;

inline int read()
{
	int x=0; char c=getchar();
	while 



  
 

    


    
    
【NOIP2018提高組D1T2】貨幣系統

     
  
  
  
  
  這題就是送分的。直接記憶化深搜即可 但有些人竟然跟我打的不一樣，我也貼一下標吧 
  
 深搜： 
 #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace st 



  
 

    


    
    
【NOIP2018提高組D2T1】旅行

     
  
  
  
  
  這一道題嘛，水。分類討論即可 mn 暴力刪邊判 mn-1 直接做即可 
  
 #include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using  



  
 

    


    
    
JZOJ5965【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲

     
  
 
  
  
 題目 
 作為NOIP2018的題目，我覺得不需要把題目貼出來了。 大意就是，在一個
     
      
       
        
         n
        
        
         ∗
        
        
         m
   



  
 

    


    
    
jzoj5899 【NOIP2018模擬10.6】資源運輸 （矩陣樹定理）

     
  
 
  
  
 描述 
 n<=300，給定有權邊，求生成樹大小和所有生成樹邊權乘積和。 
 要點 
  
  基爾霍夫矩陣：
      
       
        
         
          c
         
         
          [
        



  
 

    


    
    
JZOJ-senior-5878. 【NOIP2018提高組模擬9.22】電路圖 A

     
 
								
								            
							
							
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