2. 程式人生 > >[jzoj]5965. 【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲（推式子）

[jzoj]5965. 【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲（推式子）

阿新 • • 發佈：2018-12-10

Problem

  • 給定你一個 n ⋅ m n·m 網格棋盤，要求用 0 /

    1 0/1 填充每一個格子.

  • 使得任意兩條從原點 ( 0 , 0 )

    (0,0) 到 ( n − 1 , m
    − 1 ) (n-1,m-1)     的不完全相交路徑，先走右方向（字典序大）的路徑的 01 01 路徑字典序相對小.

  • 求方案數.

Data constraint

  • n ≤ 8 , m ≤ 1 0 6 n\le 8, m \le 10^6

Solution

  • 其實這題可以不用 D P DP .

  • 顯然對於棋盤上的某一種填法 A A ，滿足 ∀ i ∈ ( 0 , n ) , j ∈ ( 0 , m ) , A i , j ≥ A i − 1 , j + 1 \forall i\in(0,n),j\in(0,m),A_{i,j}\ge A_{i-1,j+1}

  • 且顯然如果當 A i , j = A i − 1 , j + 1 A_{i,j}=A_{i-1,j+1} 時， ( i , j + 1 ) → ( n , m ) (i,j+1)\rightarrow(n,m) 形成一個封閉局面，這個局面的每條對角線上的數必須相同，這樣是為了保證 ( i , j + 1 ) → ( n , m ) (i,j+1)\rightarrow(n,m) 的每條路徑相同.

  • 那麼現在就可以分類討論了：

    • ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) (0,1),(1,0) 兩格相同：

      • 這種情況下，只需要使得 ( 1 , 1 ) → ( n , m ) (1,1)\rightarrow(n,m) 的所有對角線上數字相同.

      • 同時第一列和第一行會受其影響，仔細推一波式子可以搞定.

      • 答案形如 4 x ∗ 3 y ∗ 2 z 4^x*3^y*2^z .

      • 這是最簡單的情況。

    • ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) (0,1),(1,0) 兩格不同：

      • ( 0 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) (0,2),(1,1),(2,0) 相同：

        • 這一種情況也相對簡單，也是一波式子可以搞定的.

        • 這是次簡單的情況，其實與第一種情況完全類似，答案的形式也是一樣的.

      • ( 0 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) (0,2),(1,1),(2,0) 其中一對相同：

        • 不難發現 ( 1 , 1 ) (1,1) 與 ( 2 , 0 ) (2,0) 或 ( 0 , 2 ) (0,2) 相同是等價的.

        • 不妨假設 ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) (1,1),(2,0) 相同.

        • 設 f [ i ] f[i] 表示到第 i i 條對角線上時，在前兩行的第 i − 1 i-1 條斜線上及以前有過“配對成功”的方案數。

        • “配對成功” 是指在最上邊兩行中，第二行的某一格與其斜上方的格相同，稱之為配對成功。

        • 因為一旦配對成功，接下來第二行的填數就會有限制.

        • 當第一行與第二行全部沒有配對成功時，當前的一條對角線實際上有 5 5 種填法，而當第 i i 條對角線配對成功時，實際上只有 4 4 種填法.

        • 那麼考慮一下轉移就可以寫出： f [ i ] = f [ i − 1 ] ∗ 4 + 4 ∗ 5 f[i] = f[i - 1] * 4 + 4 * 5

        • 表示的含義是：

        • （在 i − 2 i-2 條斜線上以前就匹配成功的方案 f [ i − 1 ] f[i-1] ） *（當前第 i i 條對角線的 4 4 種填法） + （ i − 1 i-1 條斜線第一次匹配成功的 4 4 種填法） * （當前第 i i 條對角線因不受任何影響所以有 5 5 種填法.）

  • 這樣就可以計算出當 n = m n=m 的答案了.

  • 當 m = n + 1 m = n + 1 時，前兩種分類討論是很容易繼續推廣的，關鍵是第三種 分類討論應當如何推廣.

  • 不妨畫一下圖，我們發現，實質上答案是 A N S = ( 4 + 4 ∗ 4 + ( f [ n ] ∗ 3 + 4 ∗ 3 ) ∗ 2 ) ∗ 2 n − 1 ANS=(4 + 4 * 4 + (f[n] * 3 + 4 * 3) * 2) * 2^{n-1}

  • 至於為什麼也是按上面第三種分類討論一樣，根據最後一條對角線是否匹配成功進行討論.

  • 而當 m = n + 1 m=n+1 時， ( 2 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 0 , 2 ) (2,0),(1,1),(0,2)

    相關推薦

    [jzoj]5965. 【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲（推式子）

    Problem 給定你一個 n ⋅ m

    【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲

    Description 小D特別喜歡玩遊戲。這一天，他在玩一款填數遊戲。 這個填數遊戲的棋盤是一個n*m的矩形表格。玩家需要在表格的每個格子中填入一個數字（數字0或者數字1），填數時需要滿足一些限制。 下面我們來具體描述這些限制。 為了方便描述，我們先給出一些定義： 我們用每個格子的

    JZOJ5965【NOIP2018提高組D2T2】填數遊戲

    題目 作為NOIP2018的題目，我覺得不需要把題目貼出來了。 大意就是，在一個 n ∗ m

    [jzoj]5966. 【NOIP2018提高組D2T3】保衛王國（矩陣乘法+鏈剖維護線段樹 或 倍增DP）

    Problem 弱化版動態詢問一棵樹的最小覆蓋集. 每次只選擇其中某兩個點必選或必不選，且詢問獨立. Data constraint n

    JZOJ-senior-5964. 【NOIP2018提高組D2T1】旅行

    Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 524288 KB Description 小Y是一個愛好旅行的OIer。她來到X國，打算將各個城市都玩一遍。 小Y瞭解到，X國的n個城市之間有m條雙向道路。每條雙向道路連線兩個城市。不存在兩條連線同一對城市

    JZOJ-senior-5963. 【NOIP2018提高組D1T3】賽道修建

    Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 524288 KB Description C城將要舉辦一系列的賽車比賽。在比賽前，需要在城內修建m條賽道。 C城一共有n個路口，這些路口編號為1,2,…,n ，有n-1 條適合於修建賽道的雙向通行的道路，每

    JZOJ-senior-5962. 【NOIP2018提高組D1T2】貨幣系統

    Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 524288 KB Description 在網友的國度中共有 n 種不同面額的貨幣，第 i 種貨幣的面額為 a[i]，你可以假設每一種貨幣都有無窮多張。為了方便，我們把貨幣種數為 n、面額陣列為 a[1…n

    JZOJ 5878. 【NOIP2018提高組模擬9.22】電路圖 A

    Description nodgd 要畫一個電路圖。 這是一個很簡單的電路圖，所有的元件都是串聯關係，從整體來看就是一個環狀的結構。畫電路圖有很多要求，nodgd 為了畫得好看就又添加了一些 額外的要求。所有要求歸結起來有以下幾點： 1、這個環狀電路上有n個雙端

    【NOIP2018提高組D1T3】賽道修建

    唉，這題考場想到了，就是細節搞爆了。。。 主要是二分答案然後判一下，每次深搜（類似貪心）即可。 #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace

    5964. 【NOIP2018提高組D2T1】旅行

    Description 小Y是一個愛好旅行的OIer。她來到X國，打算將各個城市都玩一遍。 小Y瞭解到，X國的n個城市之間有m條雙向道路。每條雙向道路連線兩個城市。不存在兩條連線同一對城市的道路，也不存在一條連線一個城市和它本身的道路。並且，從任意一個城市出發，通過這些道路

    5961. 【NOIP2018提高組D1T1】鋪設道路

    Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 524288 KB Description 春春是一名道路工程師，負責鋪設一條長度為 n 的道路。 鋪設道路的主要工作是填平下陷

    【NOIP2018提高組D2T3】保衛王國

    抱歉，本人蒟蒻沒能做出，不過可給標程，orz大佬 const maxn=100000;inf=trunc(1e+12)-1; var f : array[0..maxn,0..17,0..1,0..1]of int64; up,dw : array[0..maxn,0..

    【NOIP2018提高組D1T1】鋪設道路

    這題不用講了吧，一遍掃直接過 #include<cstdio> using namespace std; int n,a[100010],ans=0; inline int read() { int x=0; char c=getchar(); while

    【NOIP2018提高組D1T2】貨幣系統

    這題就是送分的。直接記憶化深搜即可 但有些人竟然跟我打的不一樣，我也貼一下標吧 深搜： #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace st

    【NOIP2018提高組D2T1】旅行

    這一道題嘛，水。分類討論即可 mn 暴力刪邊判 mn-1 直接做即可 #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<algorithm> using

    JZOJ5966【NOIP2018提高組D2T3】保衛王國（並查集）

    題目 還是懶得把題目放上來了。 大意：給你一棵帶點權的樹，你要花費一些代價選擇一些點使得相鄰的兩個點至少有一個被選。 然後有很多個詢問，每個詢問強制兩個點的狀態，問強制了這兩個點的狀態後的方案。 比賽思路 沒時間了，沒時間了…… 匆匆打個44分的暴力就好了。 結果混淆了

    5966. 【NOIP2018提高組D2T3】保衛王國

    Description Z國有n座城市，n-1條雙向道路，每條雙向道路連線兩座城市，且任意兩座城市都能通過若干條道路相互到達。 Z國的國防部長小Z要在城市中駐紮軍隊。駐紮軍隊需要滿足如下幾個條件： ①一座城市可以駐紮一支軍隊，也可以不駐紮軍隊。 ②由道路直接連線的兩座城市中至少要有一座城

    jzoj5913. 【NOIP2018模擬10.19】林下風氣（樹形dp）

    5913. 【NOIP2018模擬10.19】林下風氣 Description 裡口福因有林下風氣，帶領全國各地高校掀起了一股AK風，大家都十分痴迷於AK。裡口福為了打擊大家的自信心，出了一道自以為十分困難的題目。 裡口福有一棵樹，第i個節點上有點權ai，他的問

    JZOJ-senior-5878. 【NOIP2018提高組模擬9.22】電路圖 A

    Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 262144 KB Description nodgd 要畫一個電路圖。 這是一個很簡單的電路圖，所有的元件都是串聯關係，從整體

    [jzoj 5770]【2018提高組模擬A組8.6】可愛精靈寶貝 (區間dp)

    以及 stdin isdigit char spa ios 遺憾 etc 時間 傳送門 Description Branimirko是一個對可愛精靈寶貝十分癡迷的玩家。最近，他閑得沒事組織了一場捉精靈的遊戲。遊戲在一條街道上舉行，街道上一側有一排房子，從左到右房子標號由1到