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題目傳送門 - POJ1151

題意概括

　　給出n個矩形，求他們的面積並。

　　n<=100

題解

　　數據範圍極小。

　　我們分3種算法逐步優化。

　　算法1： O(n³)

　　如果這n個矩形的坐標都是整數，而且比較小，那麽我們顯然可以用最暴力的方法：一個一個打標記。

　　但是不是這樣的。

　　坐標大小很大，而且是實數。

　　然而我們發現差不多，只要先離散化一下，然後再打標記即可。

　　算法2：O(n²)

　　實際上，上面的方法十分慢。如果n的範圍到了1000，上面的就無濟於事了。

　　而實際上，基於上面的打標記的算法，我們可以通過差分的方法n²

　　我們通過差分，可以用n²的時間標記，n²的時間判斷每一個區域是否被覆蓋。

　　空間復雜度O(n²)

　　算法3：O(n logn) 掃描線

　　實際上，這類問題的數據範圍可以到100000這個級別。

　　矩形面積並可以用掃描線算法來解決。先看原理，後面講具體實現。

　　比如下圖：

　　當前我們的掃描線到達了淡黃色部分。

　　由於之前沒有記錄，所以答案不增加。

　　然而我們記下當前橫向覆蓋的長度。

　　然後我們到了第二條掃描線，加上原來記錄的橫向覆蓋長度乘以增加的高度就是當前增加的答案。

　　然後，我們更新了橫向覆蓋的長度。

　　繼續。

　　然後第三條。現在的橫向覆蓋長度是兩邊加起來，所以增加的面積是兩塊了。

　　然後更新橫向覆蓋的長度，加上了中間的那一條。

　　然後繼續。

　　現在有這麽長的一條都是被橫向覆蓋的了。

　　所以新增的面積是淺藍色部分。

　　然後我們發現左上那條線是出邊，所以要刪除這一條線。

　　所以橫向覆蓋的長度為如下：

　　同理，接下來是：

　　然後就OK了。

　　那麽具體怎麽實現呢？

　　我們開一棵線段樹來維護！

　　在讀入之後，我們把所有的橫線都拆開，分成下邊和上邊兩類。某一區間在進入下邊的時候+1，離開上邊的時候-1，所以我們分別給上下邊標記+1和-1。

　　對於Y，我們離散化一下。

　　對於X，我們按照邊的X排一個序。

　　然後按照剛才那樣的處理。

　　具體如何維護詳見代碼。

代碼

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=100+5,M=N*2;
const double Eps=1e-9;
int T=0,n,m,tot_Y,tot_s;
double Y[M];
struct Segment{
    double x,L,R;
    int v;
    void set(double x_,double L_,double R_,int v_){
        x=x_,L=L_,R=R_,v=v_;
    }
}s[M];
struct SegTree{
    int cnt;
    double sum;
}t[M*4];
bool cmp_s(Segment a,Segment b){
    return a.x<b.x;
}
void build(int rt,int le,int ri){
    t[rt].cnt=0;
    t[rt].sum=0;
    if (le==ri)
        return;
    int mid=(le+ri)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
    build(ls,le,mid);
    build(rs,mid+1,ri);
}
void pushup(int rt,int le,int ri){
    int ls=rt<<1,rs=ls|1;
    if (t[rt].cnt)
        t[rt].sum=Y[ri+1]-Y[le];
    else if (le==ri)
        t[rt].sum=0;
    else
        t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;
}
void update(int rt,int le,int ri,int xle,int xri,int d){
    if (le>xri||ri<xle)
        return;
    if (xle<=le&&ri<=xri){
        t[rt].cnt+=d;
        pushup(rt,le,ri);
        return;
    }
    int mid=(le+ri)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
    update(ls,le,mid,xle,xri,d);
    update(rs,mid+1,ri,xle,xri,d);
    pushup(rt,le,ri);
}
int find_double(double x){
    int le=1,ri=m,mid;
    while (le<=ri){
        mid=(le+ri)>>1;
        if (abs(x-Y[mid])<Eps)
            return mid;
        if (Y[mid]<x)
            le=mid+1;
        else
            ri=mid-1;
    }
}
int main(){
    while (scanf("%d",&n)&&n){
        tot_Y=tot_s=0;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            double xA,yA,xB,yB;
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&xA,&yA,&xB,&yB);
            if (yB-yA<Eps||xB-xA<Eps)
                continue;
            Y[++tot_Y]=yA,Y[++tot_Y]=yB;
            s[++tot_s].set(xA,yA,yB,1);
            s[++tot_s].set(xB,yA,yB,-1);
        }
        sort(Y+1,Y+tot_Y+1);
        sort(s+1,s+tot_s+1,cmp_s);
        m=1;
        for (int i=2;i<=tot_Y;i++)
            if (Y[i]-Y[i-1]>Eps)
                Y[++m]=Y[i];
        build(1,1,m);
        double ans=0;
        for (int i=1;i<=tot_s;i++){
            ans=ans+(s[i].x-s[i-1].x)*t[1].sum;
            int L=find_double(s[i].L);
            int R=find_double(s[i].R);
            update(1,1,m,L,R-1,s[i].v);
        }
        printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",++T,ans);
    }
    return 0;
}

POJ1151Atlantis 矩形面積並 掃描線 線段樹