SDOI 2010--古代豬文(Lucas算法&費馬小定理&中國剩余定理)
發現幾乎每次數論題洛谷總是讓我TLE一個點。。。。
附圖：
最後那個點優化了很久終於過了。。。。
題意
iPig在大肥豬學校圖書館中查閱資料，得知遠古時期豬文文字總個數為N。當然，一種語言如果字數很多，字典也相應會很大。當時的豬王國國王考慮到如果修一本字典，規模有可能遠遠超過康熙字典，花費的豬力、物力將難以估量。故考慮再三沒有進行這一項勞豬傷財之舉。當然，豬王國的文字後來隨著歷史變遷逐漸進行了簡化，去掉了一些不常用的字。
iPig打算研究古時某個朝代的豬文文字。根據相關文獻記載，那個朝代流傳的豬文文字恰好為遠古時期的k分之一，其中k是N的一個正約數（可以是1和N）。不過具體是哪k分之一，以及k是多少，由於歷史過於久遠，已經無從考證了。iPig覺得只要符合文獻，每一種能整除N的k都是有可能的。他打算考慮到所有可能的k。顯然當k等於某個定值時，該朝的豬文文字個數為N / k。然而從N個文字中保留下N / k個的情況也是相當多的。iPig預計，如果所有可能的k的所有情況數加起來為P的話，那麽他研究古代文字的代價將會是G的P次方。
現在他想知道豬王國研究古代文字的代價是多少。由於iPig覺得這個數字可能是天文數字，所以你只需要告訴他答案除以999911659的余數就可以了。
輸入格式：
輸入文件有且僅有一行：兩個數N、G，用一個空格分開。
輸出格式：
輸出文件有且僅有一行：一個數，表示答案除以999911659的余數。
Solution
經過幾天的數論的專題練習，我很快看出這道題要求的式子：
ans=（GΣC(k,n) (k是n的因數)
可以用費馬小定理簡化：
ans=（GΣC(k,n) (k是n的因數)%999911658）%999911659；
因為999911658不是質數，不能直接用Lucas算法，所以分解質因數999911658=2*3*4679*35617；
分別用Lucas算法再用中國剩余定理合並。。。。
過程就不多講了，之前的帖子裏都說過。。。
於是就在BZOJ上通過了。。。
代碼如下
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
#define mod 999911659
#define mod2 999911658
using namespace std;
map<LL，LL> mp;
LL ny[5],a[5];
LL jc[5][20010];
LL pow(LL a,LL b,LL p){
LL s=1;
while(b){
if(b&1)
s=s*a%p;
b>>=1;
a=a*a%p;
}
return s;
}
LL C(LL a,LL b,LL p){
if(b>a) return 0;
if(b*2>a) b=a-b;
LL s=1;
for(int i=1;i<=b;i++){
LL u=(a+i-b)%p;
s=s*u%p*jc[mp[p]][i]%p;
}
return s;
}
LL Lucas(LL a,LL b,LL p){
if(b==0) return 1;
return C(a%p,b%p,p)*Lucas(a/p,b/p,p)%p;
}
int main(){
LL n,g,ans=0;
ny[1]=1;ny[2]=1;ny[3]=1353;ny[4]=31254;
a[1]=2;a[2]=3;a[3]=4679;a[4]=35617;
mp[2]=1;mp[3]=2;mp[4679]=3;mp[35617]=4;
for(int i=1;i<=4;i++) jc[i][0]=1;
for(int i=1;i<=4;i++){
for(int j=1;j<=20000;j++)
jc[i][j]=pow(j,a[i]-2,a[i]);
}
scanf("%lld%lld",&n,&g);
if(g%mod==0) {
printf("0\n");
return 0;
}
for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
if(n%i==0){
if(i*i==n)
for(int j=1;j<=4;j++){
LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
for(int k=1;k<=4;k++)
if(k!=j) s=s*a[k]%mod2;
ans=(ans+s)%mod2;
}
else
for(int j=1;j<=4;j++){
LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
LL s2=ny[j]*Lucas(n,n/i,a[j]);
for(int k=1;k<=4;k++)
if(k!=j){
s=s*a[k]%mod2;
s2=s2*a[k]%mod2;
}
ans=(ans+s+s2)%mod2;
}
}
ans=pow(g,ans,mod);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
然而這在洛谷上就會像之前圖片上一樣，會T掉一個點。。。。
發現組合數的函數經常調用，裏面還有for循環很耗時。。。
於是稍作優化(woc搞了一上午好吧。。。)
至於是怎麽優化的也自己看吧。。。現在很心累。。。
前後對比圖：
代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
#define mod 999911659
#define mod2 999911658
using namespace std;
map<LL，LL> mp;
LL ny[5],a[5],top;
LL jc[5][40010];
LL pow(LL a,LL b,LL p){
LL s=1;
while(b){
if(b&1)
s=s*a%p;
b>>=1;
a=a*a%p;
}
return s;
}
LL C(LL a,LL b,LL p) {
if (a<b) return 0;
return jc[mp[p]][a]*pow(jc[mp[p]][b]*jc[mp[p]][a-b],p-2,p)%p;
}
LL Lucas(LL a,LL b,LL p){
if(!b) return 1;
return C(a%p,b%p,p)*Lucas(a/p,b/p,p)%p;
}
int main(){
LL n,g,ans=0;
ny[1]=1;ny[2]=1;ny[3]=1353;ny[4]=31254;
a[1]=2;a[2]=3;a[3]=4679;a[4]=35617;
mp[2]=1;mp[3]=2;mp[4679]=3;mp[35617]=4;
for (int i=1;i<=4;i++) {
jc[i][0]=1;
for (int j=1;j<=a[i];j++)
jc[i][j]=jc[i][j-1]*j%a[i];
}
scanf("%lld%lld",&n,&g);
g=g%mod;
if(!g) {
printf("0\n");
return 0;
}
LL d=sqrt(n);
for(int i=1;i<=d;i++)
if(n%i==0){
if(i*i==n)
for(int j=1;j<=4;j++){
LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
s=mod2/a[j]*s%mod2;
ans=(ans+s)%mod2;
}
else
for(int j=1;j<=4;j++){
LL s=ny[j]*Lucas(n,i,a[j]);
LL s2=ny[j]*Lucas(n,n/i,a[j]);
s=mod2/a[j]*(s+s2)%mod2;
ans=(ans+s)%mod2;
}
}
ans=pow(g,ans,mod);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
This passage is made by Yukino.
SDOI 2010--古代豬文(Lucas算法&費馬小定理&中國剩余定理)