P1306 斐波那契公約數

題目描述

對於Fibonacci數列：1,1,2,3,5,8,13......大家應該很熟悉吧~~~但是現在有一個很“簡單”問題：第n項和第m項的最大公約數是多少？

輸入輸出格式

兩個正整數n和m。（n,m<=10^9）

註意：數據很大

Fn和Fm的最大公約數。

由於看了大數字就頭暈，所以只要輸出最後的8位數字就可以了。

輸入輸出樣例

4 7

1

說明

用遞歸&遞推會超時

用通項公式也會超時

/*
    首先，斐波那契數列相鄰項的gcd=1。假設不為1的話，可以推出之前所有相鄰項gcd均不為1，但gcd(f(1),f(2))=gcd(1,1)=1，矛盾，所以相鄰項gcd=1。
    然後，不妨設n<m，設第f(n)與f(n+1)為a,b，則有：
    x f(x)
    0 0 1 1 2 1 3 2 ... (n)a,(n+1)b
    (n+2)a+b
    (n+3)a+2b
    (n+4)2a+3b
    ...
    (m)f(m-n-1)a+f(m-n)b
    根據gcd(m,n)=gcd(n,m%n)，則
    gcd(f(m),f(n))
    =gcd(f(n),f(m)%f(n))
    =gcd(a,f(m-n)b)
    因為a和b是相鄰項，gcd=1，所以
    _原式_=gcd(f(n),f(m-n))
    遞歸帶入，得到
    _原式_=gcd(f(n),f(m%n))
    這就是gcd輾轉相除的形式，所以可以得到
    gcd(f(m),f(n))=f(gcd(m,n))
    問題解決
    只需要先用O(logn)時間求gcd(m,n)，再求f(gcd(m,n))
 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,a[1000000];
int gcd(int x,int y){
    if(y==0)return x;
    else return gcd(y,x%y);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int p=gcd(n,m);
    a[1]=1;a[2]=1;
    for(int i=3;i<=p;i++)a[i]=(a[i-1
 
]+a[i-2])%100000000;
    printf("%d",a[p]);
    return 0;
}

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