數學建模筆記（一）
問題：全國大學生數學建模競賽2012年A題第一題第一小問——分析附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異。
工具：Excle、SPSS19中文版
以兩組紅葡萄酒的評分為例，綜合運用t檢驗、方差分析、χ2檢驗，符號檢驗和秩和檢驗分別求解。其中t檢驗和方差分析屬於參數檢驗，需要總體服從正態分布且需要檢驗方差齊性。χ2檢驗、符號檢驗和秩核檢驗屬於非參數檢驗。
1）首先用Excle對原數據進行處理，得到品酒員對酒樣的總評分：
註：其中4號品酒員對酒樣20色調的評分缺失，用其他九位品酒員的評分均值替代。
2）t檢驗
雙樣本t檢驗通過檢驗兩個樣本的均值是否相同來判斷總體之間是否存在顯著性差異，根據樣本性質的不同又分為獨立樣本t檢驗和配對樣本t檢驗。這兩種方法在此題中都有應用，其中獨立樣本t檢驗又有兩種處理方式——以酒樣或以組別為單位進行分析。
獨立樣本t檢驗
i.以酒樣為單位進行分析
①數據錄入
②操作流程
分析==>比較均值==>獨立樣本t檢驗
檢驗變量==>選入【酒樣品1】~【酒樣品27】
分組變量==>選入【組別】==>定義組==>使用指定值==>組1==>輸入1==>組2==>輸入2
③結果與分析
以酒樣1為例，前兩列對樣本進行了方差齊性檢驗，如果Sig.大於0.05則表明樣本通過檢驗，否則不通過。若樣本通過方差齊性檢驗，以第五列第一行的Sig.為準，否則為第二行。如果該Sig.大於0.05則表明樣本間沒有顯著性差異。
統計後發現20個酒樣無顯著性差異，7個酒樣有顯著性差異。無顯著性差異的酒樣占了絕大多數，可以認為這兩組品酒員的評價結果無顯著性差異。
ii.以組別為單位進行分析
①數據錄入
其中【組別】前270行為1，後270行為2。【評分】前270行為第一組評分拉伸為列後的數據，後270行為第二組評分拉伸為列後的數據。
②操作流程
分析==>比較均值==>獨立樣本t檢驗
檢驗變量==>選入【評分】
分組變量==>選入【組別】==>定義組==>使用指定值==>組1==>輸入1==>組2==>輸入2
③結果與分析
結果顯示該樣本沒有通過方差齊性檢驗。第五列第二行的Sig.為0.001，說明這兩組品酒員的評價結果有顯著性差異。
配對樣本t檢驗
①數據錄入
【紅1】和【紅2】分別是兩組評分的均值。
②操作流程
分析==>比較均值==>配對樣本t檢驗==>選入【紅1】和【紅2】
③結果與分析
可以看到Sig.小於0.05，所以這兩組品酒員的評價結果有顯著性差異。
3）方差分析
雖然叫做方差分析，但實際上是對每組數據的均值作比較。不同於t檢驗，方差分析可以比較兩組以上的數據。下面我分別用單因素方差分析和有交互作用的雙因素方差分析進行了處理。
單因素方差分析
①數據錄入
與獨立樣本t檢驗的第ii種情況相同。
②操作流程
分析==>一般線性模型==>單變量
因變量==>選入【評分】
固定變量==>選入【組別】
③結果與分析
上表顯示第四行【組別】所屬的Sig.小於0.05，表明這兩組品酒員的評價結果有顯著性差異。
有交互作用的雙因素方差分析
①數據錄入
其中【酒樣】是數據對應酒樣的編號，範圍是1~27.
②操作流程
分析==>一般線性模型==>單變量
因變量==>選入【評分】
固定變量==>選入【組別】和【酒樣】
③結果與分析
實際上僅從【組別】來看這和單因素方差分析的結果沒有什麽不同，但是如果對此表中【酒樣】【組別*酒樣】和【誤差】的Ⅲ型平方和加總，我們可以發現這和前一張表格中【誤差】的Ⅲ型平方和
剛好相等。有交互作用的雙因素方差分析對單因素方差分析中的【誤差】做了更進一步的分解。
4）χ2檢驗
這裏並不是用χ2統計量來檢驗擬合優度而是檢驗獨立性。如果分組情況和打分不獨立，那麽組別就會對評分造成影響，不同組別的評分之間應該存在顯著性差異。反之，則不存在顯著性差異。
①數據錄入
確定評分區間時應保證每個區間內的頻數大於5.
②操作流程
數據==>加權個案==>選擇加權個案==>在頻數變量中選入【頻數】
分析==>描述統計==>交叉表
行==>選入【組別】
列==>選入【評分區間】
統計量==>卡方
③結果與分析
由上表，檢驗拒絕了【組別】和【評分區間】獨立的原假設，我們可以說兩組品酒員的評價結果有顯著性差異。
5）符號檢驗與秩和檢驗
符號檢驗和秩和檢驗都是檢驗樣本的中值是否相同。與均值相同，中值也可以表示數據的位置，因此這兩種檢驗也可以檢驗樣本之間有無顯著性差異。
①數據錄入
與配對樣本t檢驗相同
②操作流程
分析==>非參數檢驗==>舊對話框==>2個相關樣本==>選入【紅1】和【紅2】
檢驗類型==>選擇Wilconxon和符號檢驗
③結果與分析
可以看出兩種檢驗都表明這兩組品酒員的評價結果有顯著性差異。
6）小結
對於差異性的檢驗不能局限於單一的方法，除了常見的t檢驗和方差分析，對非參數檢驗在這方面的應用也應該有所了解。
數學建模筆記（一）