【逆元的概念】

逆元和單位元這個概念在群中的解釋是： 逆元是指數學領域群G中任意一個元素a，都在G中有唯一的逆元a‘，具有性質a×a‘=a‘×a=e，其中e為該群的單位元。

群的概念是： 如果獨異點（幺半群）中每一個元素都有逆元，那麽這個獨異點（幺半群）叫做群。

獨異點（幺半群）： 有單位元的半群。

半群： 可結合的代數系統。即 ，有 。

代數系統：我的理解是代數系統包含一個數的集合A和至少一個運算規則，所有的運算都是封閉的，不會產生不在A集合中的數。

我們知道的實數集合R和加減乘除等一系列運算規則就組成了一個代數系統。根據上面的概念我們當然知道這是一個群。

簡單來說：對於任意群中元素a,b，如果a*b = 1 ，那麽a就是b的左逆元，b就是a的右逆元。（如果這個群滿足交換律，這個群就是交換群，那麽a和b互為逆元。

這裏有一個例題，就是求逆元的：

當然這是一道單純求逆元的題。

　　 （K*M）% N = 1

看到這個我們想把%消掉，看起來就會簡單了。

==> (K*M-1)%N = 0

==> K*M-1 = S*N (S為未知數)

現在我們成功的消掉了%，這個等式只有K和S兩個未知數。

如果還沒看出來的話，我們把K換成x，S換成y，再移項看看：

==> M*x - N*y = 1

是不是很熟悉，對，就是拓展歐幾裏得。

ll gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        
 
return a;
    }
    ll q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

這樣能夠解出x,y的一對解，再把它移到適合的範圍內就得到了我們的結果。

這題的代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define rep(u,i,n) for(int u = i;u <= n; u++)
typedef 
 
long long ll;
using namespace std;
ll gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}
int main() {
  ll n,m,x = 0,y = 0;
  while(cin >> m >> n){
    gcd(n,m,x,y);
    if(y > 0) cout << y << endl;
    else cout << n+y << endl;
  }
  return 0;
}

【逆元的用途】 除法取模

我們知道 (a*b)%n = c --> ((a%n)*(b%n))%n = c;

但是(a/b)%n 該怎麽求呢？

如果n = 11, a = 3, b = 10 的話，直接算會導致結果錯誤(3/10)%11 = 0。

我們知道3/10是有值的，但是直接算結果會變成0，肯定出了某種錯誤。

這個錯誤我們暫時不做討論，著重解決問題。

這時乘法逆元就派上用場了我們知道(3/10)%11 ==> (3*(1/10))%11

而1/10在乘法上是10的逆元(mod n = 11)，意思就是我們用10的逆元取代1/10的位置就可以解決了。

(3/(10的逆元))%11就是我們要的結果。

於是我們成功的解決了除法時取模的問題。

這裏有一個例題：

這個逆元是手動求的，懶得寫求逆元代碼。

代碼如下：

#include <bits\stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1000000007;   
ll mod_pow(ll x,ll n)  
{  
  ll ans = 1;  
  while(n > 0) {  
    if(n % 2 == 1){
        ans = ans * x % mod;
        } 
        n /= 2;
        x = x*x % mod;
  }  
  return ans;  
}   
int main()  
{     
  ll n,ans;  
  cin >> n;  
  n++; 
  ans = (mod_pow(3,n)-1)*500000004%mod; // 500000004是2對mod的逆元 ，逆元在除以後取模時使用 
  cout << ans << endl;  
  return 0;  
}  

關於逆元的概念、用途和可行性的思考（附51nod 1013 和 51nod 1256）