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Description

哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德國數學家；出生於格奧尼格斯別爾格（現名加裏寧城）；曾在英國牛津大學學習；原學法學，由於在歐洲各國訪問期間結識了貝努利家族,所以對數學研究產生了興趣；曾擔任中學教師。1725年，到了俄國，同年被選為彼得堡科學院院士；1725年~1740年擔任彼得堡科學院會議秘書；1742年，移居莫斯科，並在俄國外交部任職。
1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被1和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，14＝3＋11等等。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的註意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。
我們不需要你去證明哥德巴赫猜想。
如果哥德巴赫猜想是正確的，一個（不小於6的）偶數，都是兩個素數之和。那麽這個偶數能被至少一個素數對表示，如14，即可以表示為14＝3＋11，也可以表示為14=7+7。不同的偶數對應的素數對的數目是不一樣的，如偶數6，就只能表示為6=3+3。對於每個給定的偶數，我們希望知道有多少素數對的和等於該偶數。

Input

有多組測試數據。每組測試數據占一行，包含唯一的一個正偶數n.(6 <= n <= 2^24,)。 輸出以EOF結束。

Output

對於每個輸入的偶數，輸出一行包含唯一的一個整數：表示有多少個素數對的和是輸入的偶數。

Sample Input

6
14

Sample Output

1
2

Source

2009湘潭邀請賽

題解：

本題n最大可以達到2^24，我們就考慮用一種方法，把所有小於2^24的素數都找出來；

顯然枚舉1到2^24每個數，直接用sqrt(n)的復雜度來檢測是否為素數的方法是不太可行的；

因此使用篩法來求所有小於等於N的素數：

①埃篩（埃拉托斯特尼篩法）

　　樸素的思想：素數的倍數必然不為素數。

　　實現方法：先假設在1~N的範圍內所有的數為素數，例如使用標記數組isPrime[N]，就全部先標記為1；然後isPrime[0]=isPrime[1]=0；

　　　　　　　然後i = 2 to sqrt(N)枚舉每個數，如果isPrime[i]，則枚舉j = 2i , 3i , 4i , …… , ki （ ki <= N 且 (k+1)i > N ），全部isPrime[j]=0；

　　反證法：假設存在一個數n，它是一個合數，但是isPrime[n]=1，則按照算法，n不存在一個因數滿足小於等於sqrt(n)（要是有，n就被篩釣了）；

　　　　　　因此，n必然有一個因數m，滿足sqrt(n) < m < n，則必然存在另一個數 M 滿足 M * m = n，則M必然小於sqrt(n)，這與前面相矛盾，故n必然是素數；

用這樣的篩法，我們就可以寫出本題的AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #define MAX 16777220
 5 bool isPrime[MAX];
 6 int n;
 7 void screen()//埃篩求素數
 8 {
 9     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
10     isPrime[0]=isPrime[1]=0;
11     int sqrt_MAX=(int)ceil(sqrt(MAX));
12     for(int i=2;i<=sqrt_MAX;i++)
13     {
14         if(isPrime[i]) for(int j=i*2;j<=MAX;j+=i) isPrime[j]=0;
15     }
16 }
17 int main()
18 {
19     screen();
20     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
21     {
22         int cnt=0;
23         for(int i=1;i<=n/2;i++)
24         {
25             if(isPrime[i] && isPrime[n-i]) cnt++;
26         }
27         printf("%d\n",cnt);
28     }
29 }

②歐拉篩法（線性篩法）：

　　埃篩存在一個缺陷：重復劃去某些合數，例如6，既是2的倍數，又是3的倍數，那麽它就會被重復劃去；

　　因此采用一種更加優化的方法篩出素數；

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #define MAX 16777220
 5 int n;
 6 bool isPrime[MAX];
 7 int PrimeNum[MAX/5],cnt=0;
 8 void screen()//歐拉篩法求素數
 9 {
10     memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
11     isPrime[0]=isPrime[1]=0;
12     for(int i=2;i<=MAX;i++)
13     {
14         if(isPrime[i]) PrimeNum[cnt++]=i;
15         for(int j=0;j<cnt;j++)
16         {
17             if(i*PrimeNum[j]>MAX) break;
18             isPrime[(i*PrimeNum[j])]=0;
19             if(i%PrimeNum[j]==0) break;
20                 //比i*PrimeNum[j]更大的數，會被PrimeNum[0]~PrimeNum[j]的素數篩掉
21         }
22     }
23 }
24 int main()
25 {
26     screen();
27     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
28     {
29         int cnt=0;
30         for(int i=1;i<=n/2;i++)
31         {
32             if(isPrime[i] && isPrime[n-i]) cnt++;
33         }
34         printf("%d\n",cnt);
35     }
36 }

NEFU 2 - 猜想 - [篩法求素數]