在（17）中我們對排序算法進行了簡單的分析，並得出了兩個結論：

　　1.只進行相鄰元素交換的排序算法時間復雜度為O(N²)

　　2.要想時間復雜度低於O(N²)，算法必須進行遠距離的元素交換

　　而今天，我們將對排序算法進行進一步的分析，這一次的分析將針對“使用比較進行排序”的排序算法，到目前為止我們所討論過的所有排序算法都在此範疇內。所謂“使用比較進行排序”，就是指這個算法實現排序靠的就是讓元素互相比較，比如插入排序的元素與前一個元素比較，若反序則交換位置，再比如快速排序小於樞紐的元素分為一組，大於樞紐的元素分為另一組。它們都是依靠“比較”來完成排序工作。

　　要對使用比較進行排序的算法進行分析，我們首先要引入一個概念：決策樹。

　　決策樹就是這樣的二叉樹：樹的根結點表示“元素的所有可能順序”，樹的每一條邊表示“一種可能的比較”，一條邊連接的孩子結點則是“父結點經過該邊所代表的比較後剩余的可能順序”。這樣的解釋很難理解，但有圖搭配就可以好很多：

　　上圖是一棵三元素排序決策樹，根結點處表示所有可能的順序，而從根延伸下來的兩條邊分別表示了兩種“決策”，或者說“比較”，經過該“決策”後就可以得出剩余的可能情況，比如根結點的左孩子是經歷決策“a<b”後剩余的可能。顯然，葉子代表只剩一種可能順序。

　　註意，決策樹並沒有代表任何排序算法，即沒有哪個排序算法是這樣工作的。但是決策樹可以給我們這樣一個信息：通過比較來排序的算法，本質上就是沿著決策樹從根到某個葉子的路徑比較下去。

　　因此，分析這條“路徑”平均經過多少條邊，就相當於分析使用比較的排序算法平均需要多少次比較。這也是本次分析與（17）的不同之處，在（17）中我們的分析針對的是排序算法的“交換”次數，這次我們分析的是“比較”次數，而比較次數顯然更為關鍵，因為不論元素是否遠距離交換，比較總是存在的。

　　要分析使用比較進行排序的算法平均進行幾次比較，我們就必須知曉以下定理。

　　定理1：深度為d的二叉樹，最多擁有2^d個葉子

　　證明很簡單：二叉樹的深度d即二叉樹中深度最大的葉子的深度d，若存在某個葉子深度不是d，則可以在該葉子下添加兩個孩子而不改變樹的深度，因此深度為d的二叉樹要有最多的葉子則必為滿二叉樹，此時有葉子2^d

_{定理2：有y個葉子的二叉樹，深度至少為[log}y_{]（底數默認為2）}

　　證明：由定理1可以直接推出。

　　這個證明可能有點難懂，我們可以觸類旁通一下：假如1元錢最多可以買5個糖，那麽5個糖最少需要多少錢？答案是1元，恰好是反函數的關系。類似的，深度為x的二叉樹最多有y個葉子，那麽有y個葉子的二叉樹最少有多少深度？答案就是x了。

　　定理3：N元素排序的決策樹有N!個葉子結點

　　證明：N元素排序的可能順序共有N!個，而決策樹的葉子就是表示“僅剩的可能性”即某一種可能順序，所以N元素排序的決策樹共有N!個葉子

　　定理4：使用元素比較的排序算法至少需要O(logN!)次比較

　　證明：由定理2可知，有y個葉子的決策樹，深度至少為[logy]，而N元素排序決策樹葉子數量必為N!，所以N元素排序決策樹深度至少為[logN!]，也即N元素排序決策樹的任一葉子深度至少為[logN!]，而葉子的深度就表示了從根到該葉子的路徑上經過的邊的數量，也就是“比較”的次數，因此定理4成立。

　　定理5：使用元素比較的排序算法至少需要Ω(N*logN)次比較

　　證明：根據定理4進行繼續計算：

　　logN!=log(N*(N-1)*(N-2)*……*2*1)

　　　　=logN+log(N-1)+log(N-1)+……+log2+log1

　　　　>=logN+log(N-1)+……log(N/2)

　　　　>=(N/2)*log(N/2)=(N/2)*log(N*1/2)=(N/2)*logN+(N/2)*log(1/2)

　　　　>=(N/2)*logN-N/2

　　　　=Ω(N*logN)

　　定理5就是我們這次分析的最終結果，並且我們可以將定理5進行一個推廣：假設存在X種可能情形，確定具體情形的方法是不斷地問“是或否”型的問題，那麽累計需要問的次數至少是[logX]。

　　那麽根據定理5，堆排序、合並排序和快速排序是否已經代表了排序的最快境界呢？不是的，因為定理5依然是有“限定”的，那就是通過比較進行排序的算法才符合，也就是說不是通過比較來完成排序的話，是可能突破這個界限的。

　　不通過比較來完成排序，是個什麽樣子？我們這裏可以舉一個簡單的例子：桶式排序。其時間復雜度是O(N)。

　　現實生活中桶式排序的思想是不少見的，舉個例子感受一下：

　　假設我們有很多硬幣，一分、二分、五分、一角、五角和一元都有，現在我們想要將它們按從小到大排好序，該怎麽做？手工模擬任意排序算法都可以完成這項工作，但沒有人會這麽傻。大部分人的做法都是：準備6個“桶”，分別存放這6種硬幣，一分的扔進一分桶，一元的扔進一元桶，所有硬幣扔進桶裏了，再按順序從桶裏倒出來，排序就完成了。

　　將上述思想轉換到計算機中就是這樣：假設我們的元素都是自然數，且一定小於MAX，那我們只要準備MAX個空桶，即定義一個整形數組bucket[MAX]，並將其全部初始化為0。然後遍歷所有元素，若元素為i，則令bucket[i]加1，最後統計數組bucket的情況，就可以得出元素的順序：

//size為數組src的大小，也即元素個數
void BucketSort(unsigned int *src,unsigned int size)
{
    //MAX為宏，表示src中元素不會大於等於的值
    unsigned int bucket[MAX] = { 0 };
    
    //將元素們“扔進桶裏”
    for (unsigned int i = 0;i < size;++i)
        ++bucket[src[i]];

    //將桶裏的元素“倒出來”
    unsigned int j = 0;  
    for (unsigned int i = 0;i < MAX;++i)
        for (unsigned int x = 0;x < bucket[i];++x)
            src[j++] = bucket[i];
}

　　顯然，桶式排序的局限性在於要求元素必須是自然數，必須存在上限且上限不可過分大，因為元素的上限決定了桶的數量，而桶的數量並不是想要多少有多少，比如我的電腦就不支持分配一個大小為INT_MAX的數組。

　　桶式排序還有一種變種，只需要10個桶即可，感興趣的可以去搜索“桶式排序”或“基數排序”，此處不做介紹。

　　本篇博文就是有關排序的最後一篇博文了，下一篇博文開始，我將會介紹圖論算法，並不難，至少理解起來是不難。

深入淺出數據結構C語言版（22）——排序決策樹與桶式排序