題目鏈接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2101

題意：

　　共有n枚金幣，第i枚金幣的價值是w[i]。

　　把金幣排成一條直線，Bessie和Bonny輪流取金幣，看誰取到的錢最多。

　　Bessie先取，每次只能取一枚金幣，而且只能選擇取直線兩頭的金幣，不能取走中間的金幣。當所有金幣取完之後，遊戲就結束了。

　　Bessie和Bonny都是非常聰明的，她們會采用最好的辦法讓自己取到的金幣最多。

　　請幫助Bessie計算一下，她能拿到多少錢？

題解：

　　區間dp共有兩種表示狀態的方法：

　　　　（1）dp[i][j]：表示區間[i,j]的答案。

　　　　　　一般轉移為：dp[i][j] = best(dp[i+1][j], dp[i][j-1])

　　　　（2）dp[i][j]：左端點為i，區間長度為j。

　　　　　　一般轉移為：dp[i][j] = best(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])

　　顯然，第二種是可以壓維的。因為dp[i][j]只與dp[...][j-1]有關。

　　在此題中，第一種表示會炸空間，所以只能用第二種。

　　表示狀態：

　　　　dp[i][j] = max wealth

　　　　i：起點為i

　　　　j：區間長度為j

　　　　表示對於當前區間，先手的最大獲利。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1][n]

　　　　表示整個區間。

　　如何轉移：

　　　　對於一個區間，這個區間內的價值總和是一定的。

　　　　那麽如果要讓自己獲利更大，就是要讓對方接下來的獲利最小。

　　　　自己的獲利 = 區間價值總和 - 對方獲利

　　　　即：dp[i][j] = sum(i,i+j-1) - min(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])

　　邊界條件：

　　　　dp[i][1] = w[i]

　　　　只能拿走剩下的一個硬幣。

　　優化：

　　　　壓維。

　　　　前綴和。

AC Code:

 1 // state expression:
 2 // dp[i][j] = max wealth
 
 3 // i: start pos
 4 // j: len of present section
 5 //
 6 // find the answer:
 7 // dp[1][n]
 8 //
 9 // transferring:
10 // dp[i][j] = sum(i,i+j-1) - min(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])
11 //
12 // boundary:
13 // dp[i][1] = w[i]
14 #include <iostream>
15 #include <stdio.h>
16 #include <string.h>
17 #define MAX_N 5005
18 
19 using namespace std;
20 
21 int n;
22 int w[MAX_N];
23 int dp[MAX_N];
24 int sum[MAX_N];
25 
26 void read()
27 {
28     cin>>n;
29     for(int i=1;i<=n;i++)
30     {
31         cin>>w[i];
32     }
33 }
34 
35 void cal_sum()
36 {
37     sum[0]=0;
38     for(int i=1;i<=n;i++)
39     {
40         sum[i]=sum[i-1]+w[i];
41     }
42 }
43 
44 void solve()
45 {
46     cal_sum();
47     for(int j=1;j<=n;j++)
48     {
49         for(int i=1;i<=n;i++)
50         {
51             if(j==1) dp[i]=w[i];
52             else dp[i]=sum[i+j-1]-sum[i-1]-min(dp[i],dp[i+1]);
53         }
54     }
55 }
56 
57 void print()
58 {
59     cout<<dp[1]<<endl;
60 }
61 
62 int main()
63 {
64     read();
65     solve();
66     print();
67 }

BZOJ 2101 [Usaco2010 Dec]Treasure Chest 藏寶箱：區間dp 博弈【兩種表示方法】【壓維】