[luogu P3628] [APIO2010]特別行動隊

題目描述

你有一支由 n 名預備役士兵組成的部隊，士兵從 1 到 n 編號，要將他們拆分 成若幹特別行動隊調入戰場。出於默契的考慮，同一支特別行動隊中隊員的編號 應該連續，即為形如(i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k)的序列。 編號為 i 的士兵的初始戰鬥力為 xi ，一支特別行動隊的初始戰鬥力 x 為隊內 士兵初始戰鬥力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=x?i??+x?i+1??+...+x?i+k??。

通過長期的觀察，你總結出一支特別行動隊的初始戰鬥力 x 將按如下經驗公 式修正為 $x‘：x‘ = ax2 + bx + c$，其中 a, b, c 是已知的系數（a < 0）。 作為部隊統帥，現在你要為這支部隊進行編隊，使得所有特別行動隊修正後 戰鬥力之和最大。試求出這個最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x?1??=2,x?2??=2,x?3??=3,x?4??=4。經驗公式中的參數為 a = –1, b = 10, c = –20。此時，最佳方案是將士兵組成 3 個特別行動隊：第一隊包含士兵 1 和士兵 2，第二隊包含士兵 3，第三隊包含士兵 4。特別行動隊的初始戰鬥力分 別為 4, 3, 4，修正後的戰鬥力分別為 4, 1, 4。修正後的戰鬥力和為 9，沒有其它 方案能使修正後的戰鬥力和更大。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入由三行組成。第一行包含一個整數 n，表示士兵的總數。第二行包含三 個整數 a, b, c，經驗公式中各項的系數。第三行包含 n 個用空格分隔的整數 $x_1, x_2, …, x_n$，分別表示編號為 1, 2, …, n 的士兵的初始戰鬥力。

輸出格式：

輸出一個整數，表示所有特別行動隊修正後戰鬥力之和的最大值。

輸入輸出樣例

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

9

說明

20%的數據中，n ≤ 1000；

50%的數據中，n ≤ 10,000；

100%的數據中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100。

斜率DP pro 2。相比上一題，本蒟蒻感覺這題水多了，只是調了一下才A。

設f[i]為前i個人的戰鬥力最大值，s[i]為前i個人戰鬥力的和。易得：

f[i]=max{f[j]+a(s[i]-s[j])^2+b(s[i]-s[j])+c}(j<i)

=max{f[j]+as[i]^2-2as[i]s[j]+as[j]^2+bs[i]-bs[j]+c}

設X[i]=as[i]^2，Y[i]=bs[i]，則原式

=max{f[j]+X[i]-2as[i]s[j]+X[j]+Y[i]-Y[j]+c}

設P[i]=X[i]+Y[i]，Q[i]=X[i]-Y[i]，則原式

=max{f[j]+P[i]+Q[i]-2as[i]s[j]+c}

則f[i]=?f[j]+P[i]+Q[i]-2as[i]s[j]+c

則在這個式子裏，y=f[j]+Q[j]，k=2as[i]，x=s[j]，b=f[i]-P[i]-c，且y=kx+b。

由於是取max，所以是維護一個上凸包，所以維護一個斜率只降不升的單調隊列就可以了。

其中每個點的坐標為(xi,yi)=(s[i],f[i]+Q[i])（可以從最後那個x和y的表達式看出來）。

code：

 1 %:pragma GCC optimize(2)
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define sqr(x) ((x)*(x))
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=1000005;
 7 const double inf=1e18;
 8 int n,l,r; LL A,B,C,ratio,s[N],X[N],Y[N],P[N],Q[N],f[N];
 9 struct point {
10     LL x,y;
11     point() {}
12     point(LL _x,LL _y):x(_x),y(_y) {}
13 }st[N];
14 inline int read() {
15     int x=0,f=1; char ch=getchar();
16     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) f=(ch==‘-‘)?-1:1,ch=getchar();
17     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
18     return x*f;
19 }
20 double slope(point u,point v) {
21     return u.x==v.x?(u.y<v.y?inf:-inf):1.0*(v.y-u.y)/(v.x-u.x);
22 }
23 LL get(LL k) {
24     while (l<r&&slope(st[l],st[l+1])>1.0*k) l++;
25     return st[l].y-k*st[l].x;
26 }
27 void insert(point cur) {
28     while (l<r&&slope(st[r-1],st[r])<slope(st[r-1],cur)) r--;
29     st[++r]=cur;
30 }
31 int main() {
32     n=read(),A=read(),B=read(),C=read(),ratio=A*2,s[0]=0;
33     for (int i=1; i<=n; i++) s[i]=s[i-1]+read();
34     for (int i=1; i<=n; i++) X[i]=A*sqr(s[i]);
35     for (int i=1; i<=n; i++) Y[i]=B*s[i];
36     for (int i=1; i<=n; i++) P[i]=X[i]+Y[i];
37     for (int i=1; i<=n; i++) Q[i]=X[i]-Y[i];
38     l=1,r=0,st[++r]=point(0,0);
39     for (int i=1; i<=n; i++) {
40         f[i]=get(ratio*s[i])+P[i]+C;
41         insert(point(s[i],f[i]+Q[i]));
42     }
43     printf("%lld\n",f[n]);
44     return 0;
45 }

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