Leetcode:Construct Binary Tree from Preorder and Inorder Traversal
題目大意：分別按先序和中序遍歷同一個n結點二叉樹，得到兩個結點數組P和I。要求利用這些結點數組還原二叉樹。
這道題考驗對二叉樹的理解。先說明一些基礎的知識：
先序遍歷表示當訪問一個結點時，先訪問結點值，再訪問結點的左孩子，最後訪問結點的右孩子。
中序遍歷表示當訪問一個結點時，先訪問結點的左孩子，再訪問結點值，最後訪問結點的右孩子。（我一開始把先序和中序搞混了）
接下來開始推導一些有用的性質，這裏使用p和i分別表示兩個函數，對於二叉樹結點n，p(n)表示通過先序遍歷過程中n的值被訪問的次序，i(n)表示通過中續遍歷n的值被訪問的次序。對於二叉樹的根結點root，有p(root)=1。
對於兩個結點A和B，假設二者最低的公共祖先結點為C。
性質1：若i(A)<i(B)，則必然有以下三個命題之一成立：
A是C的左孩子的後代且B是C的右孩子的後代。（任意一個結點都是自己的後代）
A=C，且B是C的右孩子的後代。
B=C，且A是C的左孩子的後代。
性質2：若p(B)<p(A)，則必然有下面三個命題之一成立：
B=C。
B是C的左孩子且A是C的右孩子。
性質3：若A是B的後代，且p(A)=P(B)+1，則必然有命題成立：
A是B的左孩子。
定義1：假設有結點序列F[0],F[1],...,F[k]，其中F[0]=B，且F[i]是F[i-1]的父親，若t是第一個滿足條件F[t-1]是F[t]的左孩子的下標，那麽稱F[t]是B的最近左父。
性質4：若D是B的最近左父，且滿足p(B)<p(A),i(B)<i(A)<i(D)，那麽必然有下面命題成立：
A是B的右孩子的後代。這裏稍微說明下：由於i(B)<i(A)<i(D)可以導出A和B是D的左孩子的後代，且A不可能是B的右孩子，而p(B)<p(A)可以導出A不可能是B的父親。
性質5：若A是B的右孩子的後代，且對於所有滿足p(B)<p(X)<p(A)的結點X，都是B的左孩子及其後代，那麽A是B的右孩子。
上面所有前提下的推論可以通過枚舉討論得到，這裏不細加推導。
現在先說明如何判斷一個結點是另外一個結點的左孩子。對於結點A和B，若p(B)+1=p(A)且i(A)<i(B)，那麽必然有A是B的左孩子。由於性質1和性質2同時被滿足，而唯一不矛盾的結論就是B=C且A是B的左孩子的後代，而利用性質3可以得到A是B的左孩子。實際上二者是等價條件。
而對於如何判斷一個結點是另外一個結點的右孩子，前面的性質4和性質5已經說的很詳細了。
最後說明算法的執行流程。先用一個哈希表實現函數i，之後利用一個可回退的叠代器ITER按順序遍歷數組I。我們建立一個根結點R，假設我們的結果二叉樹的根結點是R的左孩子，並認為其i值為I的長度（即先序遍歷中被最後訪問），這樣可以保證每個結點的最近左父的存在。之後利用遞歸和ITER建立R的左孩子（即結果二叉樹）。下面給出建立左右結點的代碼：
BuildLeft(ITER, i, father)
if(ITER.hasNext() == false)
return NULL
A = ITER.next()
if(i(A)<i(father) == false)
ITER.previous()
return NULL
A.left = BuildLeft(ITER, i, A)
A.right = BuildRight(ITER, i, A, father)
return A
BuildRight(ITER, i, father, nlAncestor)
if(ITER.hasNext() == false)
return NULL
A = ITER.next()
if(i(father)<i(A) && i(A)<i(nlAncestor) == false)
ITER.previous()
return NULL
A.left = BuildLeft(ITER, i, A)
A.right = BuildRight(ITER, i, A, nlAncestor)
return A
兩個函數均通過遞歸和一些判斷對二叉樹進行建立。
最後說明一下時間復雜度，對於每一次BuildLeft和BuildRight被調用，都會引起其一次校驗不通過或是二叉樹中一個結點的建立。校驗不通過的情況下，其father必定被加入到了二叉樹中，而每一個father最多有兩次調用BuildLeft和BuildRight校驗不通過的情況，我們將這兩次的費用追加在father建立的費用上，由於都是常量級別的費用，因此可以認為每次結點建立都是一個常量時間復雜度的費用。而整個流程最多n個結點被建立加入到二叉樹中，故總的時間費用為O(n)。
最後上實際代碼，代碼的前面兩行是由於一開始弄混淆了先序和中序：
1 /** 2 * Definition for a binary tree node. 3 * public class TreeNode { 4 * int val; 5 * TreeNode left; 6 * TreeNode right; 7 * TreeNode(int x) { val = x; } 8 * } 9 */ 10 class Solution { 11 12 13 public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { 14 int[] tmp = preorder; 15 preorder = inorder; 16 inorder = tmp; 17 18 Map<Integer, Integer> p = new HashMap(); 19 List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(inorder.length); 20 for (int i = 0, bound = preorder.length; i < bound; i++) { 21 Integer v = preorder[i]; 22 p.put(v, i); 23 } 24 25 for(int i = 0, bound = inorder.length; i < bound; i++) 26 { 27 Integer v = inorder[i]; 28 list.add(v); 29 } 30 31 return buildLeft(list.listIterator(), p, preorder.length); 32 } 33 34 public TreeNode buildLeft(ListIterator<Integer> iter, Map<Integer, Integer> p, int parentIndex) { 35 if (!iter.hasNext()) { 36 return null; 37 } 38 39 Integer rootVal = iter.next(); 40 int rootIndex = p.get(rootVal); 41 if (rootIndex > parentIndex) { 42 iter.previous(); 43 return null; 44 } 45 46 TreeNode root = new TreeNode(rootVal); 47 root.left = buildLeft(iter, p, rootIndex); 48 root.right = buildRight(iter, p, rootIndex, parentIndex); 49 50 return root; 51 } 52 53 public TreeNode buildRight(ListIterator<Integer> iter, Map<Integer, Integer> p, int parentIndex, int lastLeftParentIndex) { 54 if (!iter.hasNext()) { 55 return null; 56 } 57 58 Integer rootVal = iter.next(); 59 int rootIndex = p.get(rootVal); 60 if (!(parentIndex < rootIndex && rootIndex < lastLeftParentIndex)) { 61 iter.previous(); 62 return null; 63 } 64 65 TreeNode root = new TreeNode(rootVal); 66 root.left = buildLeft(iter, p, rootIndex); 67 root.right = buildRight(iter, p, rootIndex, lastLeftParentIndex); 68 69 return root; 70 } 71 }View Code
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