【BZOJ3518】點組計數 歐拉函數
阿新 • • 發佈：2017-11-26
函數 枚舉 num data 位置 long its soft limit
【BZOJ3518】點組計數
Description
平面上擺放著一個n*m的點陣（下圖所示是一個3*4的點陣）。Curimit想知道有多少三點組(a，b，c)滿足以a，b，c三點共線。這裏a，b，c是不同的3個點，其順序無關緊要。(即(a，b，c)和(b，c，a)被認為是相同的）。由於答案很大，故你只需要輸出答案對1，000，000，007的余數就可以了。
Input
有且僅有一行，兩個用空格隔開的整數n和m。
Output
有且僅有一行，一個整數，表示三點組的數目對1，000，000，007的余數。（1，000。000。007是質數）
Sample Input
3 4Sample Output
HINT
對於100%的數據，1< =N．m< =50000
題解：我們先不考慮水平的和豎直的點組，並且先只考慮形如 / 的點組（形如 \ 的點組數目相同）。考慮枚舉兩端的點的相對位置，將其看成向量(i,j)。如果(i,j)確定了，則中間的點可能的位置也就確定了，並且左端點的絕對位置也能確定了。說白了，方案數等於如下式子：
$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)(n-i)(m-j)$
我們將-1單獨拿出來考慮，接著進行歐拉反演：
$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mgcd(i,j)(n-i)(m-j)\\=\sum\limits_{d=1}^n\varphi(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor}(n-i\times d)\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac m d\rfloor} (m-j\times d)$
由於n,m很小，暴力算即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=50010;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int num;
ll n,m,ans;
int pri[N/10],phi[N];
bool np[N];
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
int i,j;
phi[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(!np[i]) pri[++num]=i,phi[i]=i-1;
for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=n;j++)
{
np[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
}
}
for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans+phi[i]*((n-i+n%i)*(n/i)/2%P)%P*((m-i+m%i)*(m/i)/2%P)%P)%P;
ans=(ans-((n-1)*n/2%P)*((m-1)*m/2%P)%P+P)%P;
ans=(ans<<1)%P;
ans=(ans+n*(m*(m-1)*(m-2)/6%P)%P+m*(n*(n-1)*(n-2)/6%P)%P)%P;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
【BZOJ3518】點組計數 歐拉函數