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描述

小Ho面前有N個小球排成了一排。每個小球可以被染成M種顏色之一。

為了增強視覺效果，小Ho希望不存在連續K個或者K個以上的小球顏色一樣。

你能幫小Ho計算出一共有多少種不同的染色方法麽？

例如N=4, M=2, K=3，則有10種染色方法：

0010 0011 0100 0101 0110 1001 1010 1011 1100 1101

輸入

三個整數：N, M和K。

對於30%的數據, 1 ≤ N, M, K ≤ 100

對於60%的數據，1 ≤ N, M, K ≤ 300

對於100%的數據，1 ≤ N, M, K ≤ 1000

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一個整數表示答案。註意方法數可能非常大，你只需要輸出模

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4 2 3

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10

#題解：

如果只有一個小球，染色的方案是m。如果有兩個小球，允許連續一次則有m(m-1)種方案，兩次為m。

例：如果n=4, 顏色m=3, 連續上限k=3。m=3不變, 設方案數為e(n, m), 代表長度為n，最大連續長度恰好為m的結果

則：

n =1, e(1,1) = 3

n = 2, e(2,1)=3*2=6,e(2,2)=e(1,1)=3 (e(n,m) =e(n-1,m-1)，從e的意義上看出來,把多出來的1個小球加到一個長度為m-1的連續串裏)

n = 3, e(3,1)=6*2+3*2=18, 這裏可以看到e(3,1)=∑(1,k)e(2,d) * (m-1),因為對e(n-1,X)種代表的小球串染色方案，每個都可以把串拿來加長, 每個對應的方案數恰好是m-1種。至於為什麽是m-1種，並不能解釋，猜測是n-1, X連續的小球染色剛好可以對應一個n,1連續的小球染色。

按照分析這種染色的慣例，一般是不會把顏色作為可變變量的，因為在可變大小的區間裏進行顏色分配意味著位置、顏色、連續方向都要考慮，並不是很便於編程。

考慮隨著長度增加，連續上限的增加，顏色的方案數。用動態規劃的方法來做。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000;
const int MOD = (int)1e9 + 7;

long long dp[N + 1][N + 1];

int main() {
  int n, m, k;
  scanf("%d %d %d
 
", &n, &m, &k);
  dp[1][1] = m;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j < k; ++j) {
      dp[i][1] = (dp[i][1] + dp[i - 1][j] * (m - 1) % MOD) % MOD;
    }
    for (int j = 2; j < k ; ++j) {
      dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    }
  }
  long long res = 0;
  for (int i = 1; i < k; ++i) {
    res = (res + dp[n][i]) % MOD;
  }
  #ifdef __DEBUG__
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
      for (int j = 1; j < k; j++) {
          printf("%lld ", dp[i][j]);
      }
      printf("\n");
  }
  #endif
  printf("%lld\n", res);
  return 0;
}

測試：

【hihocoder 1651】2017-12-3 小球染色