BZOJ1492 貨幣兌換 CDQ分治優化DP
1492: [NOI2007]貨幣兌換Cash
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小Y最近在一家金券交易所工作。該金券交易所只發行交易兩種金券:A紀念券(以下簡稱A券)和 B紀念券(以下 簡稱B券)。每個持有金券的顧客都有一個自己的帳戶。金券的數目可以是一個實數。每天隨著市場的起伏波動, 兩種金券都有自己當時的價值,即每一單位金券當天可以兌換的人民幣數目。我們記錄第 K 天中 A券 和 B券 的 價值分別為 AK 和 BK(元/單位金券)。為了方便顧客,金券交易所提供了一種非常方便的交易方式:比例交易法 。比例交易法分為兩個方面:(a)賣出金券:顧客提供一個 [0,100] 內的實數 OP 作為賣出比例,其意義為:將 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以當時的價值兌換為人民幣;(b)買入金券:顧客支付 IP 元人民幣,交易所將會兌 換給用戶總價值為 IP 的金券,並且,滿足提供給顧客的A券和B券的比例在第 K 天恰好為 RateK;例如,假定接 下來 3 天內的 Ak、Bk、RateK 的變化分別為:
Input
輸入第一行兩個正整數N、S,分別表示小Y能預知的天數以及初始時擁有的錢數。接下來N行,第K行三個實數AK、B K、RateK,意義如題目中所述。 測試數據設計使得精度誤差不會超過10^-7。對於40%的測試數據,滿足N ≤10;
對於100%的測試數據,滿足N ≤100 000; 對於100%的測試數據,滿足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤10^9。 【提示】 1.輸入文件可能很大,請采用快速的讀入方式。 2.必然存在一種最優的買賣方案滿足: 每次買進操作使用完所有的人民幣; 每次賣出操作賣出所有的金券。
Output
只有一個實數MaxProfit,表示第N天的操作結束時能夠獲得的最大的金錢數目。答案保留3位小數。
Sample Input
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000HINT
(轉載請註明原文地址:http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8028556.html )
終於把CDQ維護凸殼學了……
那麽既然題目已經給提示2了,我們就可以針對性的設$f[i]$為第i天獲得的最多A券數,$ans[i]$為第i天的最大獲利,那麽我們要求的就是ans[n]了。
這個dp顯然是可以$O(n^{2})$解決的……但是這樣拿不了後面的分數。
然後你就想啊,肯定要優化啊……然後你就可以化出一個斜率的式子來。
對於$ans[i]$的決策,我們設兩天j和k,j比k優秀的話,就會有
$(f[j]-f[k])*a[i]+(f[j]/rate[j]-f[k]/rate[k])*b[i]>0$
再設$g[i]=f[i]/rate[i]$(也就是第i天獲得的最多B券數),為了處理不等式的符號我們設$f[j]<f[k]$
所以有:
$(g[j]-g[k])*b[i]>-(f[j]-f[k])*a[i]$
$(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])<-a[i]/b[i]$
(當然,實際情況是有$f[j]==f[k]$,即斜率不存在的情況存在的,到時候還要討論。)
那麽我們轉化到一些坐標為(f[i],g[i])的二維平面的點上來。
我們建立一個這些點的上凸殼,然後在凸殼上二分最靠左的最後一個滿足$k(point(x),point(x+1))<-a[i]/b[i]$的點x,
那麽$x+1$就是最優秀的取值,也即本次決策點。
但是你發現這個f[i]不隨i單調……那麽我們考慮splay或者CDQ
打個J的splay啊
那麽我們CDQ維護凸殼並且決策就好了……
具體實現是讓$f[i]$有序之後按照正常方法建凸殼,然後讓$-a[i]/b[i]$有序(我是從大到小排序),單調掃一邊完成決策。
怎麽讓這倆有序呢……一是大力sort,復雜度$O(nlog^{2}n)$,一是歸並排序,復雜度$O(nlogn)$
兩種方法我都打了一下……感覺少個$logn$沒快到哪去,也沒長到哪去……
如果復雜度可行還是打$log^{2}$吧……
兩份代碼:
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define eps 1e-8 6 #define N 100010 7 #define db double 8 #define inf 0x7fffffff 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps)) 10 int n,top,sta[N],id[N],tmp[N],idk[N],tmpk[N],match[N]; 11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N]; 12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;} 13 inline bool comp(const int &a,const int &b) 14 {return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] );} 15 inline double k(int a,int b) 16 { 17 if(sign(f[a]-f[b])==0)return sign(g[a]-g[b])*inf; 18 return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]); 19 } 20 inline bool compk(const int &a,const int &b) 21 {return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ;} 22 inline void CDQ(int l,int r) 23 { 24 if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;} 25 register int hd1,i,t,mi=l+r>>1,p=l-1,q=mi,h=l-1; 26 for(i=l;i<=r;++i) 27 if(match[idk[i]]<=mi)tmpk[++p]=idk[i]; 28 else tmpk[++q]=idk[i]; 29 for(i=l;i<=r;++i)idk[i]=tmpk[i]; 30 CDQ(l,mi); 31 for(top=0,i=l;i<=mi;++i) 32 { 33 while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top; 34 sta[++top]=id[i]; 35 } 36 for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i) 37 { 38 t=match[idk[i]]; 39 while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[t]/bk[t]) ) >=0 )++hd1; 40 ans[t]=max(ans[t],f[sta[hd1]]*ak[t]+g[sta[hd1]]*bk[t]); 41 } 42 for(i=mi+1;i<=r;++i) 43 t=match[idk[i]],ans[t]=max(ans[t],ans[t-1]),f[t]=ans[t]*rate[t]/(ak[t]*rate[t]+bk[t]); 44 CDQ(mi+1,r); 45 p=l,q=mi+1,h=l; 46 while(p<=mi&&q<=r) 47 if(comp(id[p],id[q]))tmp[h++]=id[p++]; 48 else tmp[h++]=id[q++]; 49 while(p<=mi)tmp[h++]=id[p++]; 50 while(q<=r)tmp[h++]=id[q++]; 51 for(i=l;i<=r;++i)id[i]=tmp[i]; 52 } 53 int main() 54 { 55 register int i,j; 56 scanf("%d%lf",&n,&ans[1]); 57 for(i=1;i<=n;++i) 58 scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]); 59 f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]); 60 for(i=1;i<=n;++i)id[i]=idk[i]=match[i]=i; 61 sort(match+1,match+n+1,compk); 62 CDQ(1,n); 63 printf("%.3f\n",ans[n]); 64 }nlogn
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define eps 1e-8 6 #define N 100010 7 #define db double 8 #define inf 0x7fffffff 9 #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps)) 10 int n; 11 db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N]; 12 inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;} 13 int top,sta[N]; 14 int id[N],tmp[N],idk[N]; 15 inline bool comp(const int &a,const int &b) 16 { 17 return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==0&&g[a]<g[b] ); 18 } 19 inline double k(int a,int b) 20 { 21 if(sign(f[a]-f[b])==0) 22 return sign(g[a]-g[b])*inf; 23 return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]); 24 } 25 inline bool compk(const int &a,const int &b) 26 { 27 return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) >0 ; 28 } 29 inline void CDQ(int l,int r) 30 { 31 if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;} 32 register int hd1,i,mi=l+r>>1; 33 CDQ(l,mi); 34 for(i=mi+1;i<=r;++i)id[i]=i;sort(id+l,id+mi+1,comp); 35 for(i=mi+1;i<=r;++i)idk[i]=i;sort(idk+mi+1,idk+r+1,compk); 36 for(top=0,i=l;i<=mi;++i) 37 { 38 while(top>1 && k(sta[top-1],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;//**** 39 sta[++top]=id[i]; 40 } 41 for(hd1=1,i=mi+1;i<=r;++i) 42 { 43 while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+1]) - (-ak[idk[i]]/bk[idk[i]]) ) >=0 )++hd1; 44 ans[idk[i]]=max(ans[idk[i]],f[sta[hd1]]*ak[idk[i]]+g[sta[hd1]]*bk[idk[i]]); 45 } 46 for(i=mi+1;i<=r;++i) 47 ans[i]=max(ans[i],ans[i-1]),f[i]=ans[i]*rate[i]/(ak[i]*rate[i]+bk[i]); 48 CDQ(mi+1,r); 49 } 50 int main() 51 { 52 register int i,j; 53 scanf("%d%lf",&n,&ans[1]); 54 for(i=1;i<=n;++i) 55 scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]); 56 f[1]=ans[1]*rate[1]/(ak[1]*rate[1]+bk[1]); 57 for(i=1;i<=n;++i)id[i]=i; 58 CDQ(1,n); 59 printf("%.3f\n",ans[n]); 60 }nlog^2n
BZOJ1492 貨幣兌換 CDQ分治優化DP