【bzoj2595】[Wc2008]遊覽計劃 斯坦納樹
題目描述
給出一個N×M的方格圖，每個格子有自己權值，權值為0的格子已被選定。現要再選定一些格子，使得所有選定的格子（包括一開始已被選定的格子）四聯通，並且選定的格子的權值之和最小。輸出這個最小權值及一種可行方案。
輸入
第一行有兩個整數，N和 M，描述方塊的數目。
接下來 N行， 每行有 M 個非負整數， 如果該整數為 0， 則該方塊為一個景點；
否則表示控制該方塊至少需要的誌願者數目。 相鄰的整數用 （若幹個） 空格隔開，
行首行末也可能有多余的空格。
輸出
由 N + 1行組成。第一行為一個整數，表示你所給出的方案
中安排的誌願者總數目。
接下來 N行，每行M 個字符，描述方案中相應方塊的情況：
z ‘o’（小寫英文字母o）表示該方塊安排了誌願者；
z ‘x’（小寫英文字母x）表示該方塊是一個景點；
註：請註意輸出格式要求，如果缺少某一行或者某一行的字符數目和要求不
一致（任何一行中，多余的空格都不允許出現） ，都可能導致該測試點不得分。
樣例輸入
4 4
0 1 1 0
2 5 5 1
1 5 5 1
0 1 1 0
樣例輸出
6
xoox
___o
___o
xoox
題解
斯坦納樹裸題
但是本題的斯坦納樹是點權，與大多數圖的邊權不同，下邊講解一般的邊權做法，然後再將本題的題解。
斯坦納樹：給出一些點，選出若幹條邊使得這些點連通，求總邊權的最值。
斯坦納樹是NP問題，不存在多項式時間內的解法，求解方法是狀壓dp。
設 $f[i][j]$ 表示選擇若幹條邊，使得狀態為 $i$ 的給定點連通，並且當前可以選擇下一條邊的端點為 $j$ 的最小邊權和。初始狀態 $f[2^k][pos[k]]=0$ ，其中 $pos[k]$ 為第 $k$ 個給定點的編號。
那麽我們對於每個 $i$ 和 $j$ ，首先枚舉 $i$ 的子集 $k$ ，用 $f[k][j]+f[i-k][j]$ 更新 $f[i][j]$ 。
然後再考慮同層轉移：如果 $x$ 與 $y$ 邊權為 $z$ ，用 $f[i][x]+z$ 更新 $f[i][y]$ ，用 $f[i][y]$ 更新 $f[i][x]$ 。容易發現這個轉移就是最短路，因此使用堆優化Dijkstra跑一遍得出所有的 $f[i][j]$ 。
最終答案就是 $min\{f[2^p-1][i]\}$
這個dp的理解比較顯然，時間復雜度 $O(3^p·n+2^p·m\log n)$ ，其中 $p$ 是給定點的數目。
那麽對於本題，由於權值在點上，因此枚舉子集轉移時，當前點會重復選擇，需要減去代價。
在同層轉移時，求的就是點權最短路，邊長為目標點的點權。
設 $f[i][j][k]$ 表示選定若幹條邊，使得狀態為 $i$ 的給定點連通，並且當前可以選擇下一條邊的相鄰點為 $(j,k)$ 的最小點權和。初始狀態 $f[2^k][posx[k]][posy[k]]=0$ .
首先枚舉子集轉移：$f[i][j][k]=min_{l\subseteq i}f[l][j][k]+f[i-l][j][k]-a[j][k]$ ，然後同層轉移，與 $(j,k)$ 相鄰的點的 $f$ 加上 $a[j][k]$ 可以轉移到 $f[i][j][k]$ 。
輸出方案的話直接記錄路徑，記錄從哪種方式的哪個狀態轉移過來，dfs一遍即可知道選定的點。
時間復雜度 $O(3^p·nm+2^p·nm\log n)$
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N [1030][11][11]
using namespace std;
typedef pair<int , int> pr;
typedef pair<int , pr> ppr;
priority_queue<ppr> q;
int a[11][11] , px[11] , py[11] , f N , vis N , opt N , lx N , ly N , flag[11][11];
void dfs(int i , int x , int y)
{
if(!f[i][x][y]) return;
flag[x][y] = 1;
if(opt[i][x][y]) dfs(i , lx[i][x][y] , ly[i][x][y]);
else dfs(lx[i][x][y] , x , y) , dfs(ly[i][x][y] , x , y);
}
int main()
{
int n , m , p = 0 , i , j , k , l , x , y , ans = 1 << 30;
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
{
scanf("%d" , &a[i][j]);
if(!a[i][j]) px[p] = i , py[p++] = j;
}
}
memset(f , 0x3f , sizeof(f));
for(i = 0 ; i < p ; i ++ ) f[1 << i][px[i]][py[i]] = 0;
for(i = 1 ; i < (1 << p) ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= m ; k ++ )
for(l = i ; l ; l = i & (l - 1))
if(f[i][j][k] > f[l][j][k] + f[i ^ l][j][k] - a[j][k])
f[i][j][k] = f[l][j][k] + f[i ^ l][j][k] - a[j][k] , opt[i][j][k] = 0 , lx[i][j][k] = l , ly[i][j][k] = i ^ l;
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= m ; k ++ )
q.push(ppr(-f[i][j][k] , pr(j , k)));
while(!q.empty())
{
x = q.top().second.first , y = q.top().second.second , q.pop();
if(vis[i][x][y]) continue;
vis[i][x][y] = 1;
if(x > 1 && f[i][x - 1][y] > f[i][x][y] + a[x - 1][y]) f[i][x - 1][y] = f[i][x][y] + a[x - 1][y] , opt[i][x - 1][y] = 1 , lx[i][x - 1][y] = x , ly[i][x - 1][y] = y , q.push(ppr(-f[i][x - 1][y] , pr(x - 1 , y)));
if(x < n && f[i][x + 1][y] > f[i][x][y] + a[x + 1][y]) f[i][x + 1][y] = f[i][x][y] + a[x + 1][y] , opt[i][x + 1][y] = 1 , lx[i][x + 1][y] = x , ly[i][x + 1][y] = y , q.push(ppr(-f[i][x + 1][y] , pr(x + 1 , y)));
if(y > 1 && f[i][x][y - 1] > f[i][x][y] + a[x][y - 1]) f[i][x][y - 1] = f[i][x][y] + a[x][y - 1] , opt[i][x][y - 1] = 1 , lx[i][x][y - 1] = x , ly[i][x][y - 1] = y , q.push(ppr(-f[i][x][y - 1] , pr(x , y - 1)));
if(y < m && f[i][x][y + 1] > f[i][x][y] + a[x][y + 1]) f[i][x][y + 1] = f[i][x][y] + a[x][y + 1] , opt[i][x][y + 1] = 1 , lx[i][x][y + 1] = x , ly[i][x][y + 1] = y , q.push(ppr(-f[i][x][y + 1] , pr(x , y + 1)));
}
}
for(i = 0 ; i < p ; i ++ )
if(ans > f[(1 << p) - 1][px[i]][py[i]])
ans = f[(1 << p) - 1][px[i]][py[i]] , x = i;
printf("%d\n" , ans);
dfs((1 << p) - 1 , px[x] , py[x]);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
{
if(!a[i][j]) printf("x");
else if(flag[i][j]) printf("o");
else printf("_");
}
puts("");
}
return 0;
}
【bzoj2595】[Wc2008]遊覽計劃 斯坦納樹