1.梯度消失（vanishing gradient problem）：

原因：例如三個隱層、單神經元網絡：

假設上面是一個三層hidden layer的神經網絡，每一層只有一個neuron，我們下面的分析僅僅針對bias，w也是可以類比的。

C是損失函數。

每一層的輸入為z，輸出為a，其中有z = w*a + b。

上面的等式∂c/∂b1由每一層的導數乘上對應的w最後乘上∂c/∂a4組成。

我們給b1一個小的改變Δb1，它會在神經網絡中起連鎖反應，影響最後的C。

我們使用變化率∂c/∂b1～Δc/Δb1來估計梯度。接下來可以進行遞推了。

先來計算Δb1對a1的影響。σ(z)為sigmoid函數。

結果正好是上面∂c/∂b1等式的第一項，然後影響下一層的輸出。

將上面推導出來的兩個式子聯合起來，就得到b1對於z2的影響：

再和∂c/∂b1等式對比一下，驚喜！！

然後的推導就是完全一樣了，每個neuron的導數，乘上w，最終得到C的變化量：

兩邊除以Δb1：

sigmoid導數圖像：

sigmoid導數在0取得最大值1/4。

如果我們使用均值為0，方差為1的高斯分布初始化參數w，有|w| < 1,所以有：

可以看出隨著網絡層數的加深的term也會變多，最後的乘積會指數級衰減，

這就是梯度彌散的根本原因。

而有人要問在train的時候如果參數w變得足夠大，就可能使|w|>1,就不滿足了。

的確這樣不會有梯度彌散問題，根據我們之前的分析，當|W|>1時，會使後面的layer參數指數級增加，從而引發梯度爆炸。

2.梯度爆炸（exploding gradient problem）：

當權值過大，前面層比後面層梯度變化更快，會引起梯度爆炸問題。

3.sigmoid時，消失和爆炸哪個更易發生？

量化分析梯度爆炸出現時a的樹枝範圍：因為sigmoid導數最大為1/4，故只有當abs(w)>4時才可能出現

由此計算出a的數值變化範圍很小，僅僅在此窄範圍內會出現梯度爆炸問題。而最普遍發生的是梯度消失問題。

4.如何解決梯度消失和梯度爆炸？

使用ReLU,maxout等替代sigmoid。

區別：（1）sigmoid函數值在[0,1],ReLU函數值在[0,+無窮]，所以sigmoid函數可以描述概率，ReLU適合用來描述實數；（2）sigmoid函數的梯度隨著x的增大或減小和消失，而ReLU不會。

神經網絡（七）梯度彌散（消散）和梯度爆炸