對於一個無向帶邊權連通圖G(V,E)，我們一定能從中提取出最小生成樹，那麽對於次小生成樹該如何獲取？記圖G中有效生成樹集合為Z，而T為G的中的總權重最小的生成樹，那麽G\{T}中總權重最小的樹就是次小生成樹。

　　我們不妨先考慮這樣一個問題，記T為圖G中的最小生成樹，由於生成樹由|V|-1條邊唯一決定，因此我們可以認為T代表的是最小生成樹中的邊組成的集合。很容易發現次小生成樹必然包含E\T的某條邊，我們可以枚舉每一條E\T中的邊e，並將e的兩端點合並，在此基礎上運行Kruskal或者Prim算法，找到新的生成樹，並將e加入生成樹，就得到了所有含e的生成樹中的權重最小的生成樹，我們之後稱這種樹為含e最小生成樹

　　事實上可以在O(|E|log2(|V|))時間復雜度內找到次小生成樹。

　　首先我們要找到最小生成樹T。之後我們枚舉E\T中的每一條邊e，將e加入T中，此時T內必定存在一個環，且環包含e（|V|邊連通圖必定帶一個環），為了使T再次成為一株合法的生成樹，我們需要移除環中的某條邊，顯然我們不應該移除e（否則何必要加入呢？），我們要移除的是環中權重最大的邊t，之後T再次成為了一株生成樹T‘。能保證得到的樹T‘是含e最小生成樹，事實上我們在合並了e的兩個端點後得到了新的圖G‘，圖G‘中的最小生成樹必定為T‘\{e}，這是由於我們在其上運行Kruskal算法時，所有權重小於t的邊會照舊被選入，而在所有權重小於t的邊處理完成後，原本e所在的環也只缺少一條邊t，由於生成樹中不允許有環，因此t不會被加入，到此孤立的連通子圖之間的聯系與在G上建立最小生成樹無二。因此T‘\{e}是G‘上的最小生成樹。若T‘不是G中含e最小生成樹，則存在含e生成樹F‘，但是F‘\e也是G‘的一個生成樹，這意味著F‘\e的總權重小於T‘\e，這與T‘\e是G‘的最小生成樹相悖，假設不成立，故T‘是G中含e最小生成樹。

　　那麽如何在O(|E|log2(|V|))時間復雜度內完成上面所有的操作呢，我們只要對於每條邊e，能夠以log2(|V|)時間復雜度快速計算在最小生成樹中e的兩端點之間路徑上的最大的邊即可。這樣的算法是存在的，可以利用LCT（動態樹）實現。

　　尋找最小生成樹的時間復雜度為O(|V|log2(|V|))，而在最小生成樹上建立LCT的建立時間復雜度為O(|V|log2(|V|))，為E\T上所有邊e尋找含e最小生成樹的時間復雜度為O((|E|-|V|)log2(|V|))，因此總的時間復雜度為O(|E|log2(|V|)。

次小生成樹算法