最短路徑-Dijkstra算法與Floyd算法
一、最短路徑
①在非網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊數最少的路徑。
AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3
②在網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊上權值之和最短的路徑。
AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70
③單源點最短路徑問題
問題描述：給定帶權有向圖G＝(V, E)和源點v∈V，求從v到G中其余各頂點的最短路徑。
應用實例——計算機網絡傳輸的問題：怎樣找到一種最經濟的方式，從一臺計算機向網上所有其它計算機發送一條消息。
④每一對頂點之間的最短路徑
問題描述：給定帶權有向圖G＝(V, E)，對任意頂點vi,vj∈V（i≠j），求頂點vi到頂點vj的最短路徑。
解決辦法1：每次以一個頂點為源點，調用Dijkstra算法n次。顯然，時間復雜度為O(n3)。 解決辦法2：弗洛伊德提出的求每一對頂點之間的最短路徑算法——Floyd算法，其時間復雜度也是O(n3)，但形式上要簡單些。
二、Dijkstra算法
①基本思想：設置一個集合S存放已經找到最短路徑的頂點，S的初始狀態只包含源點v，對vi∈V-S，假設從源點v到vi的有向邊為最短路徑。以後每求得一條最短路徑v, …, vk，就將vk加入集合S中，並將路徑v, …, vk , vi與原來的假設相比較，取路徑長度較小者為最短路徑。重復上述過程，直到集合V中全部頂點加入到集合S中。
②設計數據結構 :
1、圖的存儲結構：帶權的鄰接矩陣存儲結構 。
2、數組dist[n]：每個分量dist[i]表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑的長度。初態為：若從v到vi有弧，則dist[i]為弧上權值；否則置dist[i]為∞。
3、數組path[n]：path[i]是一個字符串，表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑。初態為：若從v到vi有弧，則path[i]為vvi；否則置path[i]空串。
4、數組s[n]：存放源點和已經生成的終點，其初態為只有一個源點v。
③Dijkstra算法——偽代碼
1 1. 初始化數組dist、path和s； 2 2. while (s中的元素個數<n)3 2.1 在dist[n]中求最小值，其下標為k； 4 2.2 輸出dist[j]和path[j]； 5 2.3 修改數組dist和path； 6 2.4 將頂點vk添加到數組s中；
④C++代碼實現
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 #include<string> 4 using namespace std; 5 #define MaxSize 10 6 #define MAXCOST 10000 7 // 圖的結構 8 template<class T> 9 struct Graph 10 { 11 T vertex[MaxSize];// 存放圖中頂點的數組 12 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放圖中邊的數組 13 int vertexNum, arcNum;// 圖中頂點數和邊數 14 }; 15 // 最短路徑Dijkstra算法 16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v) 17 { 18 int dist[MaxSize];// i到j的路徑長度 19 string path[MaxSize];// 路徑的串 20 int s[MaxSize];// 已找到最短路徑的點的集合 21 bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得頂點V0至Vw的最短路徑 22 // 初始化dist\path 23 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 24 { 25 Final[i] = false; 26 dist[i] = G.arc[v][i]; 27 if (dist[i] != MAXCOST) 28 path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i]; 29 else 30 path[i] = " "; 31 } 32 s[0] = v; // 初始化s 33 Final[v] = true; 34 int num = 1; 35 while (num < G.vertexNum) 36 { 37 // 在dist中查找最小值元素 38 int k = 0,min= MAXCOST; 39 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 40 { 41 if (i == v)continue; 42 if (!Final[i] && dist[i] < min) 43 { 44 k = i; 45 min = dist[i]; 46 } 47 } 48 cout << dist[k]<<path[k]<<endl; 49 s[num++] = k;// 將新生成的結點加入集合s 50 Final[k] = true; 51 // 修改dist和path數組 52 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 53 { 54 if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i]) 55 { 56 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i]; 57 path[i] = path[k] + G.vertex[i]; 58 } 59 } 60 } 61 } 62 int main() 63 { 64 // 新建圖 65 Graph<string> G; 66 string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" }; 67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]); 68 G.vertexNum = length; 69 G.arcNum = 7;*/ 70 ifstream in("input.txt"); 71 in >> G.vertexNum >> G.arcNum; 72 // 初始化圖的頂點信息 73 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 74 { 75 G.vertex[i] = temp[i]; 76 } 77 //初始化圖G的邊權值 78 for (int i =0; i <G.vertexNum; i++) 79 { 80 for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++) 81 { 82 G.arc[i][j] = MAXCOST; 83 } 84 } 85 for (int i = 0; i < G.arcNum; i++) 86 { 87 int m, n,cost; 88 in >> m >> n >> cost; 89 G.arc[m][n] = cost; 90 } 91 Dijkstra(G, 0); 92 system("pause"); 93 return 0; 94 }
// input.txt
1 5 7 2 0 1 10 3 0 3 30 4 0 4 100 5 1 2 50 6 2 4 10 7 3 2 20 8 3 4 60
三、Floyd算法
①基本思想：對於從vi到vj的弧，進行n次試探：首先考慮路徑vi,v0,vj是否存在，如果存在，則比較vi,vj和vi,v0,vj的路徑長度，取較短者為從vi到vj的中間頂點的序號不大於0的最短路徑。在路徑上再增加一個頂點v1，依此類推，在經過n次比較後，最後求得的必是從頂點vi到頂點vj的最短路徑。
②設計數據結構
1、圖的存儲結構：帶權的鄰接矩陣存儲結構 。
2、數組dist[n][n]：存放在叠代過程中求得的最短路徑長度。叠代公式：
3、數組path[n][n]：存放從vi到vj的最短路徑，初始為path[i][j]="vivj"。
③C++代碼實現
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 #include<string> 4 using namespace std; 5 #define MaxSize 10 6 #define MAXCOST 10000 7 int dist[MaxSize][MaxSize];// 存放在叠代過程中求得的最短路徑 8 string path[MaxSize][MaxSize];// vi到vj的最短路徑 9 // 圖的結構 10 template<class T> 11 struct Graph 12 { 13 T vertex[MaxSize];// 存放圖中頂點的數組 14 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放圖中邊的數組 15 int vertexNum, arcNum;// 圖中頂點數和邊數 16 }; 17 void Floyd(Graph<string> G) 18 { 19 // 初始化 20 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++) 21 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) 22 { 23 if (i == j) { dist[i][j] = 0; path[i][j] = ""; } 24 dist[i][j] = G.arc[i][j]; 25 if (dist[i][j] != MAXCOST) 26 path[i][j] = G.vertex[i] + G.vertex[j]; 27 else 28 path[i][j] = " "; 29 } 30 // 進行n次叠代 31 for(int k=0;k<G.vertexNum;k++) 32 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++) 33 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) 34 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) 35 { 36 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 37 path[i][j] = path[i][k] + path[k][j]; 38 } 39 } 40 int main() 41 { 42 int i, j, cost; 43 Graph<string> G;// 存放圖的信息 44 ifstream in("input.txt"); 45 in >> G.vertexNum >> G.arcNum; 46 string temp[] = { "a","b","c" }; 47 // 初始化圖的頂點信息 48 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 49 { 50 G.vertex[i] = temp[i]; 51 } 52 //初始化圖G 53 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++) 54 { 55 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++) 56 { 57 G.arc[i][j] = MAXCOST; 58 } 59 } 60 //構建圖G 61 for (int k = 0; k <G.arcNum; k++) 62 { 63 in >> i >> j >> cost; 64 G.arc[i][j] = cost; 65 } 66 Floyd(G); 67 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++) 68 { 69 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++) 70 { 71 if (i != j) 72 { 73 cout << "頂點" << i << "到頂點" << j << "的最短路徑長度為" << dist[i][j] << endl; 74 cout << "具體路徑為:" << path[i][j] << endl; 75 } 76 } 77 } 78 system("pause"); 79 return 0; 80 }
// input.txt 3 5 0 1 4 1 0 6 0 2 11 2 0 3 1 2 2
參考文獻：
[1]王紅梅, 胡明, 王濤. 數據結構(C++版)[M]. 北京：清華大學出版社。
最短路徑-Dijkstra算法與Floyd算法