圖-最短路徑—Dijkstra演算法和Floyd演算法
1.定義概覽
Dijkstra(迪傑斯特拉)演算法是典型的單源最短路徑演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。Dijkstra演算法是很有代表性的最短路徑演算法，演算法使用了廣度優先搜尋解決賦權有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，演算法最終得到一個最短路徑樹。該演算法常用於路由演算法或者作為其他圖演算法的一個子模組。
時間複雜度是O(n2)
注意：該演算法要求圖中不存在負權邊。
2.演算法思想：
Dijkstra演算法採用的是一種貪心的策略，宣告一個數組distance來儲存源點到各個頂點的最短距離和一個儲存已經找到了最短路徑的頂點的集合：T。
初始化，原點 s 的路徑權重被賦為 0 （distance[s] = 0，如果是有向圖也可以設定為無窮大，因為有向圖需要區別是否有到達自己的路徑）。若對於頂點 s 存在能直接到達的邊（s,m），則把distance[m]設為weight（s, m），同時把所有其他（s不能直接到達的）頂點的路徑長度設為無窮大。同時，把頂點s加入集合T。
然後，從distance陣列選擇最小值，則該值就是源點s到該值對應的頂點的最短路徑，並且把該點加入到T中，OK，此時完成一個頂點。
接著，我們需要看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點，並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比源點直接到達短，如果是，那麼就替換這些頂點在distance中的值。
重複上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點。
3、Dijkstra演算法示例演示
下面我求下圖，從任一源點（因為原博主的圖是選擇v1作為源點，咋們就用它吧，個人比較懶，懶得去自己畫圖了，只要自己能講清楚演算法實現，部分拿來主義也未嘗不可，本人實現的演算法是可以自定義源點的）到其他各個頂點的最短路徑
首先第一步，我們先宣告一個dis陣列，該陣列初始化的值為：
我們的頂點集T的初始化為：T={v1}
既然是求 v1頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找一個離 V1 號頂點最近的頂點。通過陣列 dis 可知當前離v1頂點最近是 v3頂點，則 v1頂點到 v3頂點的最短路程就是當前 dis[2]值，將V3加入到T中。
你以為這次迴圈中已經結束了嗎？no，接著，既然確定了一個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點V3是否有出度，發現以v3 為起點的有： < v3,v4 >,那麼我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比源點v1–v4短，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果：
因此 distance[3]要更新為 60。這個過程有個專業術語叫做“鬆弛”。即 v1頂點到 v4頂點的路程即 distance[3]，通過 < v3,v4> 這條邊鬆弛成功。這便是 Dijkstra 演算法的主要思想：通過“邊”來鬆弛v1頂點到其餘各個頂點的路程。
然後，我們又從distance中查詢除了已經訪問的V1和V3外的其他點中的最小值，發現distance[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然後，我們把v5加入到集合T中，然後，考慮v5的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而distance[5]為100，所以我們需要更新distance[5]的值。更新後的dis陣列如下圖：
然後，繼續從dis中選擇未確定的頂點的值中選擇一個最小的值，發現dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此時集合T={v1,v3,v5,v4},然後，考慮v4的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新後的dis陣列如下圖：
然後，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最後dis的陣列的值如下：
因此，從圖中，我們可以發現v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達v2。所以我們得到的最後的結果為：
V1 to V2 最短距離： 無窮大！
V1 to V3 最短距離： 10--------------------路徑是：V1------V3
V1 to V4 最短距離： 60--------------------路徑是：V1------V3---V4
V1 to V5 最短距離： 50--------------------路徑是：V1------V5
V1 to V6 最短距離： 70--------------------路徑是：V1------V4---V3---V64、Dijkstra演算法的程式碼實現（java）原博主是c++實現
package com.practice.graph;
/**
* Created by 凌 on 2018/11/29.
* 描述：最短路徑演算法（一）：Dijkstra演算法
* https://www.cnblogs.com/wsw-seu/p/8185285.html
* https://blog.csdn.net/qq_35644234/article/details/60870719
*/
public class Dijkstra {
/**
* 源點 0 到頂點 i 的最短路徑
*/
private int[] distances;
/**
*鄰接矩陣
*/
private int[][] adjacencyMatrix;
/**
* 圖的頂點個數
*/
private int vertexNum;
/**
* 圖的頂點表示
*/
private String[] vertex;
/**
* 圖的邊數
*/
private int edgeNum;
/**
* 開始遍歷圖的起點
*/
private int startVertex;
/**
* 標記結點是否已經遍歷
*/
boolean[] visited;
/**
* 從源結點開始訪問的最短路徑
*/
int[] path;
public Dijkstra(int[][] adjacencyMatrix, int vertexNum, String[] vertex, int edgeNum) {
this.adjacencyMatrix = adjacencyMatrix;
this.vertexNum = vertexNum;
this.vertex = vertex;
this.edgeNum = edgeNum;
this.visited = new boolean[vertexNum];
this.distances = new int[vertexNum];
this.path = new int[vertexNum];
}
/**
* 設定開始遍歷圖的起點，將字串轉成下標
* @param startVertex
*/
public void setStartVertex(String startVertex){
for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
if (startVertex.equals(vertex[i])){
this.startVertex = i;
break;
}
}
}
public int[] getDistances() {
return distances;
}
/**
* dijkstra最短路徑演算法
* @param startVertex
*/
public void dijkstra(String startVertex){
setStartVertex(startVertex);
//初始化邊距
for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
distances[i] = adjacencyMatrix[this.startVertex][i];
}
visited[this.startVertex]=true;
path[0]=this.startVertex;
//同起點的最短距離
int min_cost;
//權值最小的那個頂點的下標。（求好了）
int min_cost_index=0;
//主迴圈,除了源點，還剩下n-1個點
for (int i = 0; i < vertexNum-1; i++) {
min_cost = Integer.MAX_VALUE;
// 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
if (!visited[j] && distances[j]<min_cost){
min_cost = distances[j];
min_cost_index = j;
}
}
//找到某一個點的最短距離
visited[min_cost_index] = true;
/**
* 在通過新加入的min_cost_index點路徑找到離v0點更短的路徑，並且調整前驅;
* 現在加入min_cost_index的點，獲取與min_cost_index的點相關聯的點（即跟min_cost_index點有路徑的點），
* 然後看看源點到這些點的距離，是否比新加入點到這些點的距離更近，
* 有則更新distance，和path路徑
*/
for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
//注意:這裡不需要判斷是否已經被訪問，既然是更新,就是檢視所有跟這個新加入的點相關聯的點的路徑長度
if (adjacencyMatrix[min_cost_index][j] < Integer.MAX_VALUE ){
int min_temp = min_cost+adjacencyMatrix[min_cost_index][j];
if (min_temp < distances[j]){
distances[j] = min_temp;
path[j] = min_cost_index;
}
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
String[] vertex={"V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6"};
int vertexNum=vertex.length;
int edgeNum=8;
int[][] adjacencyMatrix={{0, Integer.MAX_VALUE, 10, Integer.MAX_VALUE, 50, Integer.MAX_VALUE},
{ Integer.MAX_VALUE, 0, 5, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
{ Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 0, 50, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
{ Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 0, Integer.MAX_VALUE, 10},
{ Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 20, 0, Integer.MAX_VALUE},
{ Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 0}};
Dijkstra dijkstra = new Dijkstra(adjacencyMatrix,vertexNum, vertex,edgeNum);
String startVertex="V1";
dijkstra.dijkstra(startVertex);
int[] distance=dijkstra.getDistances();
for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
if (i != dijkstra.startVertex){
//路徑是反的，從目標點向前不斷找前驅的過程
if (distance[i] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.printf(startVertex+" to " + vertex[i] +" 最短距離： 無窮大！");
}else{
System.out.printf(startVertex+" to " + vertex[i] +" 最短距離： "+ distance[i]);
System.out.printf("--------------------路徑是："+vertex[dijkstra.startVertex]+"---");
int t = dijkstra.path[i];
while (t != dijkstra.startVertex){
System.out.printf("---"+vertex[t]);
t= dijkstra.path[t];
}
System.out.printf("---"+vertex[i]);
}
System.out.println("");
}
}
}
}
參考：https://blog.csdn.net/qq_35644234/article/details/60870719
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html