作者：張子秋
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本篇文章講解了計算機的原碼、反碼和補碼，並且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼，以及更進一步的論證了為何可以用反碼、補碼的加法去計算原碼的減法。

論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正！希望本文對大家學習計算機基礎有所幫助！

下面這張圖片是我自己的小見解：

一. 機器數和機器數的真值

在學習原碼，反碼和補碼之前， 需要先了解機器數和真值的概念。

1、機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式，叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用機器數的最高位存放符號，正數為0，負數為1。

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是 0000 0011。如果是 -3 ，就是 100 00011 。

那麽，這裏的 0000 0011 和 1000 0011 就是機器數。

2、機器數的真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。

例如上面的有符號數 1000 0011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3，而不是形式值131（1000 0011轉換成十進制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值

稱為機器數的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法

在探求為何機器要使用補碼之前，讓我們先了解原碼、反碼和補碼的概念。對於一個數，計算機要使用一定的編碼方式進行存儲，原碼、反碼、補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式。

1. 原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其余位表示值。比如：如果是8位二進制：

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

第一位是符號位，因為第一位是符號位，所以8位二進制數的取值範圍就是：（即第一位不表示值，只表示正負。）

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

2. 反碼

反碼的表示方法是：

正數的反碼是其本身；

負數的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各個位取反。

[+1] = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反

[-1] = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反

可見如果一個反碼表示的是負數，人腦無法直觀的看出來它的數值。通常要將其轉換成原碼再計算。

3. 補碼

補碼的表示方法是：

正數的補碼就是其本身；

負數的補碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反，最後+1。(也即在反碼的基礎上+1)

[+1] = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反 = [0000 0001]_補

[-1] = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反 = [1111 1111]_補

對於負數，補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的。通常也需要轉換成原碼再計算其數值。

三. 為何要使用原碼、反碼和補碼

在開始深入學習前，我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼，反碼和補碼的表示方式以及計算方法。

現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數，對於正數因為三種編碼方式的結果都相同：

[+1] = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反 = [0000 0001]_補

所以不需要過多解釋，但是對於負數：

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補

可見原碼，反碼和補碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式，為何還會有反碼和補碼呢？

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位，在計算的時候我們會根據符號位，選擇對真值區域的加減。(真值的概念在本文最開頭) 但是對於計算機，加減乘數已經是最基礎的運算，要設計的盡量簡單，計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜！

於是人們想出了將符號位也參與運算的方法。我們知道，根據運算法則減去一個正數等於加上一個負數，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計就更簡單了。

於是人們開始探索將符號位參與運算，並且只保留加法的方法。

首先來看原碼：

計算十進制的表達式： 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [1000 0010]_原 = -2

如果用原碼表示，讓符號位也參與計算，顯然對於減法來說，結果是不正確的。這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數。

為了解決原碼做減法的問題， 出現了反碼：

計算十進制的表達式：1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

發現用反碼計算減法，結果的真值部分是正確的。而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上，雖然人們理解上+0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原兩個編碼表示0。

於是補碼的出現，解決了0的符號問題以及0的兩個編碼問題：

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_補 + [1111 1111]_補 = [1 0000 0000]_補=[0000 0000]_補=[0000 0000]_{原　　註意：進位1不在計算機字長裏。}

這樣0用[0000 0000]表示，而以前出現問題的-0則不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128：-128的由來如下：

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_補 + [1000 0001]_補 = [1000 0000]_補

-1-127的結果應該是-128，在用補碼運算的結果中，[1000 0000]_補 就是-128，但是註意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128，所以-128並沒有原碼和反碼表示。(對-128的補碼表示[1000 0000]_補，算出來的原碼是[0000 0000]_原，這是不正確的)

使用補碼，不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數。這就是為什麽8位二進制，使用原碼或反碼表示的範圍為[-127, +127]，而使用補碼表示的範圍為[-128, 127]。

因為機器使用補碼，所以對於編程中常用到的有符號的32位int類型，可以表示範圍是: [-2³¹, 2³¹-1] 因為第一位表示的是符號位，而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。

四 原碼, 反碼, 補碼 再深入

計算機巧妙地把符號位參與運算，並且將減法變成了加法，背後蘊含了怎樣的數學原理呢？

將鐘表想象成是一個1位的12進制數。如果當前時間是6點，我希望將時間設置成4點，需要怎麽做呢？我們可以：

1. 往回撥2個小時：6 - 2 = 4

2. 往前撥10個小時：(6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前撥10+12=22個小時：(6+22) mod 12 =4

上面2,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 =4，即用16除以12後的余數是4。

所以鐘表往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代！

現在的焦點就落在了如何用一個正數，來替代一個負數呢？上面的例子我們能感覺出來一些端倪，發現一些規律。但是數學是嚴謹的，不能靠感覺。

首先介紹一個數學中相關的概念：同余

同余的概念

兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b對於模m同余。

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關於模 m 同余。

舉例說明：

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4，16，28對於模 12 同余。

負數取模

正數進行mod運算是很簡單的，但是負數呢？

下面是關於mod運算的數學定義：

上面是截圖，"取下界”符號找不到如何輸入(word中粘貼過來後亂碼)。下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號：

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等於 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界。

以 -3 mod 2 舉例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10　　　　(-2) mod 12 = -2 - 12x[-2/12] = -2 - 12x(-1) = -2 + 12 = 10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8　　　　(-4) mod 12 = -4 - 12x[-4/12] = -2 -12x(-1) = -4 + 12 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7　　　 (-5)mod 12 = -5 - 12x[-5/12] = -5 -12x(-1) = -5 + 12 = 7

開始證明

再回到時鐘的問題上：

回撥2小時 = 前撥10小時

回撥4小時 = 前撥8小時

回撥5小時= 前撥7小時

註意，這裏發現的規律！

結合上面學到的同余的概念，實際上：

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2與10是同余的。

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4與8是同余的。

距離成功越來越近了。要實現用正數替代負數，只需要運用同余數的兩個定理：

反身性：

a ≡ a (mod m)

這個定理是很顯而易見的。

線性運算定理：

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那麽：

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明，請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以：

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現在我們為一個負數，找到了它的正數同余數。但是並不是7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ，即計算結果的余數相等。

接下來回到二進制的問題上，看一下：2-1=1的問題。

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到這一步，-1的反碼表示是1111 1110。如果這裏將[1111 1110]認為是原碼，則[1111 1110]原 = -126，這裏將符號位除去，即認為是126。

發現有如下規律：

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即：

2 ≡ 2 (mod 127)

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126的余數結果是相同的！而這個余數，正式我們的期望的計算結果：2-1=1

所以說一個數的反碼，實際上是這個數對於一個模的同余數。而這個模並不是我們的二進制，而是所能表示的最大值！這就和鐘表一樣，轉了一圈後總能找到在可表示範圍內的一個正確的數值！

而2+126很顯然相當於鐘表轉過了一輪，而因為符號位是參與計算的，正好和溢出的最高位形成正確的運算結果。

既然反碼可以將減法變成加法，那麽現在計算機使用的補碼呢？為什麽在反碼的基礎上加1，還能得到正確的結果？

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_補 + [1111 1111]_補

如果把[1111 1111]當成原碼，去除符號位，則：

[0111 1111]_原 = 127

其實，在反碼的基礎上+1，只是相當於增加了模的值：

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2 ≡ 2 (mod 127)

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時，表盤相當於每128個刻度轉一輪。所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128]。

但是由於0的特殊情況，沒有辦法表示128，所以補碼的取值範圍是[-128, 127]

本人一直不善於數學，所以如果文中有不對的地方請大家多多包含，多多指點！

原碼、反碼、補碼 詳解