經常遇到一類問題，提供一個圖，判斷其中是否含環。所謂的環是一條起點與終點相同的路徑（至少含有一條邊，兩個結點）。由於不帶環的連通圖和帶環的連通圖有著本質的區別，不帶環的連通圖是樹，而樹相較於一般的圖可以支持更多更高效的算法，比如log2(n)時間復雜度內找任意兩點的路徑信息，在樹上進行樹形DP等等。

　　圖按照邊是否有向可以分為有向圖和無向圖。在兩類圖中找環的時間復雜度均為O(n)，而判斷是否含環的時間復雜度也是O(n)，因此只陳述找環的方法。

無向圖找環

　　無向圖找環，因為無向圖中沒有明確的根，我們可以令任意結點為根做DFS操作，每次搜索到一個結點，就修改其狀態為已訪問，直到搜索到已訪問的結點u，這時候通過退棧必定會碰到另外一個u結點，二者之間的路徑就是環。

findLoop(node, father, stack) //node為根結點，father設為空，stack用於記錄可能存在的環信息
    stack.push(node)
    if(node.visit)
        return true
    node.visit = true
    for child in node.children
        if(child == father)
            continue
        if(findLoop(child, node, stack))
            return true
    stack.pop()
    
 
return false

　　說明正確性。很顯然如果我們第二次訪問某個結點，很顯然兩次訪問對應的路徑必定有相同的根結點（因為無向圖的原因DFS會搜索整個連通圖中的所有結點），由於DFS每次得到的路徑不同，因此我們得到了兩條起點相同終點相同的路徑，將兩條路徑首位相連，我們就得到了一個環。如果我們第二次訪問相同結點u，那麽當前路徑中必定包含u，因為在第一次搜索到u時，我們會繼續搜索其子樹，此時沿著第二條路徑逆向走，必定會抵達某個訪問過的結點（可能是根），那麽若這個結點不是u，就違背了u是第一個被二次訪問結點這一前提，故當前路徑中必定包含u，兩個結點之間的路徑中沒有重復結點，是一個簡單環。

　　復雜度非常簡單，我們為每個未被訪問過的結點調用該方法，每次進入方法，或者修改結點的訪問狀態，或者找到環，而函數內部的邏輯（不含循環）是常數時間復雜度，循環最多發生|E|次，因此時間復雜度為O(|V|+|E|)。

有向圖找環

　　有向圖找環相對比較復雜。由於圖未必連通（可能由若幹連通子圖構成），我們需要建立一個公共的根結點r，並從r向圖中所有結點建立一條單向邊（由於r只有出邊，因此r必定不是環的一部分，即不影響我們找到的環）。之後從r出發進行DFS。同樣我們需要增加訪問狀態來避免重復搜索，但是訪問兩次的結點未必構成環，比如考慮兩條路徑r->a->b與r->b，很顯然a與b之間未必構成環。我們還需要加入一個在棧標誌instk，為true表示這個結點在當前路徑上，false表示不在。只有搜到的二次訪問結點滿足該結點在棧中，才能保證其處於環上。　　

findLoop(node, stack)
    if node.visit
        if node.instk == false
            return false
        stack.push(node)
        return true;
    node.visit = true
    node.instk = true
    stack.push(node)
    
    for child in node.children
        if(findLoop(child, stack))
            return true
    
    node.instk = false
    stack.pop()
    return false

　　如果圖中確實含環，即存在路徑u->...->u，那麽當我們訪問到環上的任意結點u時，由於DFS的緣由，必定會回到自身或是找到另外一個環並退出，無論哪種情況我們都找到了一個環。而如果第一次發現一個結點u被二次訪問且在棧中，那麽由於該結點在棧中，那麽路徑中必然包含u，二者之間的路徑則形成了環，而由於路徑中只含有訪問一次的結點（除了u），因此找到的環是簡單環。

　　時間復雜度與無向圖的一致，也是O(|V|+|E|)。

有向/無向圖中搜環