算法學習自：MATLAB與機器學習教學視頻

1、粒子群優化算法概述

粒子群優化（PSO, particle swarm optimization）算法是計算智能領域，除了蟻群算法，魚群算法之外的一種群體智能的優化算法，該算法最早由Kennedy和Eberhart在1995年提出的，該算法源自對鳥類捕食問題的研究。
　　• PSO算法首先在可行解空間中初始化一群粒子，每個粒子都代表極值優化問題的一個潛在最優解，用位置、速度和適應度值三項指標表示該粒子特征。
　　• 粒子在解空間中運動，通過跟蹤個體極值Pbest和群體極值Gbest更新個體位置，個體極值Pbest是指個體所經歷位置中計 算得到的適應度值最優位置，群體極值Gbest是指種群中的所有粒子搜索到的適應度最優位置。

在每一次叠代過程中，粒子通過個體極值和群體極值更新自身的速度和位置，更新公式 如下：

2、粒子群優化算法與遺傳算法對比

• 相同點：
　　種群隨機初始化
　　適應度函數值與目標最優解之間的映射
• 不同點：
　　PSO算法沒有選擇、交叉、變異等操作算子
　　PSO有記憶的功能
　　信息共享機制不同，遺傳算法是互相共享信息，整個種群的移動是比較均勻地向最優區域移動，而在PSO中，只 有gBest或lBest給出信息給其他粒子，屬於單向的信息流動，整個搜索更新過程是跟隨當前最優解的過程

3、案例分析

①一元函數優化

　　在該例中，想要優化的一元函數為，當x範圍在[1,2]，尋找它的極大值。

matlab代碼如下：

 1 %% I. 清空環境
 2 clc
 3 clear all
 4 
 5 %% II. 繪制目標函數曲線圖
 6 x = 1:0.01:2;
 7 y = sin(10*pi*x) ./ x;
 8 figure
 9 plot(x, y)
10 hold on
11 
12 %% III. 參數初始化
13 c1 = 1.49445;
14 c2 = 1.49445;
 
15 
16 maxgen = 50;   % 進化次數  
17 sizepop = 10;   %種群規模
18 
19 Vmax = 0.5;
20 Vmin = -0.5;
21 popmax = 2;
22 popmin = 1;
23 
24 %% IV. 產生初始粒子和速度
25 for i = 1:sizepop
26     % 隨機產生一個種群
27     pop(i,:) = (rands(1) + 1) / 2 + 1;    %初始種群
28     V(i,:) = 0.5 * rands(1);  %初始化速度
29     % 計算適應度
30     fitness(i) = fun(pop(i,:));   
31 end
32 
33 %% V. 個體極值和群體極值
34 [bestfitness, bestindex] = max(fitness);
35 zbest = pop(bestindex,:);   %全局最佳
36 gbest = pop;    %個體最佳
37 fitnessgbest = fitness;   %個體最佳適應度值
38 fitnesszbest = bestfitness;   %全局最佳適應度值
39 
40 %% VI. 叠代尋優
41 for i = 1:maxgen
42     
43     for j = 1:sizepop
44         % 速度更新
45         V(j,:) = V(j,:) + c1*rand*(gbest(j,:) - pop(j,:)) + c2*rand*(zbest - pop(j,:));
46         V(j,V(j,:)>Vmax) = Vmax;
47         V(j,V(j,:)<Vmin) = Vmin;
48         
49         % 種群更新
50         pop(j,:) = pop(j,:) + V(j,:);
51         pop(j,pop(j,:)>popmax) = popmax;
52         pop(j,pop(j,:)<popmin) = popmin;
53         
54         % 適應度值更新
55         fitness(j) = fun(pop(j,:)); 
56     end
57     
58     for j = 1:sizepop    
59         % 個體最優更新
60         if fitness(j) > fitnessgbest(j)
61             gbest(j,:) = pop(j,:);
62             fitnessgbest(j) = fitness(j);
63         end
64         
65         % 群體最優更新
66         if fitness(j) > fitnesszbest
67             zbest = pop(j,:);
68             fitnesszbest = fitness(j);
69         end
70     end 
71     yy(i) = fitnesszbest;          
72 end
73 
74 %% VII. 輸出結果並繪圖
75 [fitnesszbest zbest];
76 plot(zbest, fitnesszbest,‘r*‘)
77 
78 figure
79 plot(yy)
80 title(‘最優個體適應度‘,‘fontsize‘,12);
81 xlabel(‘進化代數‘,‘fontsize‘,12);ylabel(‘適應度‘,‘fontsize‘,12);

1 function y = fun(x)
2 % 函數用於計算粒子適應度值
3 %x           input           輸入粒子 
4 %y           output          粒子適應度值 
5 y = sin(10 * pi * x) / x;

結果圖示：

2、二元函數優化

　　在該例中，想要優化的二元函數為，當x和y範圍都在[-5,5]，尋找它的極大值。

matlab代碼如下：

1 function y = fun(x)
2 %函數用於計算粒子適應度值
3 %x           input           輸入粒子 
4 %y           output          粒子適應度值 
5 y = x(1).^2 + x(2).^2 - 10*cos(2*pi*x(1)) - 10*cos(2*pi*x(2)) + 20;

 1 %% I. 清空環境
 2 clc
 3 clear
 4 
 5 %% II. 繪制目標函數曲線
 6 figure
 7 [x,y] = meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
 8 z = x.^2 + y.^2 - 10*cos(2*pi*x) - 10*cos(2*pi*y) + 20;
 9 mesh(x,y,z)
10 hold on
11 
12 %% III. 參數初始化
13 c1 = 1.49445;
14 c2 = 1.49445;
15 
16 maxgen = 1000;   % 進化次數  
17 sizepop = 100;   %種群規模
18 
19 Vmax = 1;
20 Vmin = -1;
21 popmax = 5;
22 popmin = -5;
23 
24 %% IV. 產生初始粒子和速度
25 for i = 1:sizepop
26     % 隨機產生一個種群
27     pop(i,:) = 5*rands(1,2);    %初始種群
28     V(i,:) = rands(1,2);  %初始化速度
29     % 計算適應度
30     fitness(i) = fun(pop(i,:));   %染色體的適應度
31 end
32 
33 %% V. 個體極值和群體極值
34 [bestfitness bestindex] = max(fitness);
35 zbest = pop(bestindex,:);   %全局最佳
36 gbest = pop;    %個體最佳
37 fitnessgbest = fitness;   %個體最佳適應度值
38 fitnesszbest = bestfitness;   %全局最佳適應度值
39 
40 %% VI. 叠代尋優
41 for i = 1:maxgen
42     
43     for j = 1:sizepop
44         % 速度更新
45         V(j,:) = V(j,:) + c1*rand*(gbest(j,:) - pop(j,:)) + c2*rand*(zbest - pop(j,:));
46         V(j,find(V(j,:)>Vmax)) = Vmax;
47         V(j,find(V(j,:)<Vmin)) = Vmin;
48         
49         % 種群更新
50         pop(j,:) = pop(j,:) + V(j,:);
51         pop(j,find(pop(j,:)>popmax)) = popmax;
52         pop(j,find(pop(j,:)<popmin)) = popmin;
53         
54         % 適應度值更新
55         fitness(j) = fun(pop(j,:)); 
56     end
57     
58     for j = 1:sizepop  
59         % 個體最優更新
60         if fitness(j) > fitnessgbest(j)
61             gbest(j,:) = pop(j,:);
62             fitnessgbest(j) = fitness(j);
63         end
64         
65         % 群體最優更新
66         if fitness(j) > fitnesszbest
67             zbest = pop(j,:);
68             fitnesszbest = fitness(j);
69         end
70     end 
71     yy(i) = fitnesszbest;            
72 end
73 %% VII.輸出結果
74 [fitnesszbest, zbest]
75 plot3(zbest(1), zbest(2), fitnesszbest,‘bo‘,‘linewidth‘,1.5)
76 
77 figure
78 plot(yy)
79 title(‘最優個體適應度‘,‘fontsize‘,12);
80 xlabel(‘進化代數‘,‘fontsize‘,12);ylabel(‘適應度‘,‘fontsize‘,12);

結果圖示：

4、速度更新權重W的選擇

示例代碼如下：

 1 ws = 0.9;
 2 we = 0.4;
 3 maxgen = 300;
 4 hold on;
 5 
 6 for k = 1:maxgen
 7     w(k) = ws - (ws-we)*(k/maxgen);
 8 end
 9 plot(w,‘linewidth‘,1.5);
10 
11 for k = 1:maxgen
12     w(k) = ws - (ws-we)*(k/maxgen)^2;
13 end
14 plot(w,‘r-.‘,‘linewidth‘,1.5);
15 
16 for k = 1:maxgen
17     w(k) = ws - (ws-we)*(2*k/maxgen-(k/maxgen)^2);
18 end
19 plot(w,‘g:‘,‘linewidth‘,1.5);
20 
21 for k = 1:maxgen
22     w(k) = we * (ws/we)^(1/(1+10*k/maxgen));
23 end
24 plot(w,‘y--‘,‘linewidth‘,1.5);
25 
26 legend(‘Rule-1‘,‘Rule-2‘,‘Rule-3‘,‘Rule-4‘)
27 xlabel(‘叠代次數‘)
28 ylabel(‘速度更新權重W‘)

圖示：

粒子群優化算法PSO及matlab實現