數組的連續最大子段和
問題描述：輸入是一個大小為n的整型數組，要求輸出數組的任何連續子數組中的最大值。例如：輸入的數組為array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};輸出最大連續子數組和為array[2...6]：187
算法1:對所有滿足0<=i<=j<=n的(i,j)整數對進行叠代，對每個整數對，程序都要計算array[i...j]的總和，並檢驗該總和是否大於迄今為止的最大總和。
算法1的偽代碼描述如下：
1 maxsofar = 0
2 for(i=0;i<n;++j)
3 for(j=i;j<n;++j)
4 tmepsum = 0
5 for(k=i;k<=j;++k)
6 tempsum += array[k]
7 maxsofar = max(maxsofar,tempmax)
這段代碼簡潔明了，便於理解，但是程序執行的速度很慢，時間復雜度為O(n^3)。
算法2:對於算法1有一個明顯的方法可以使其運行起來快得多。使得時間復雜度控制住平方O(n^2)。
第一個平方算法註意到，array[i...j]的總和與前面計算出的總和（array[i...j-1]）密切相關，利用這一點可以達到算法2。
算法2_1的偽代碼描述如下：
1 maxsofar = 0
2 for(i=0;i<n;++i)
3 tempsum = 0;
4 for(j=i;j<n;++j)
5 tempsum += array[j]
6 maxsofar = max(maxsofar,tempsum)
第二個平方算法是引入一個數組curarray，大小也為n，通過空間來換取時間，通過訪問外循環執行之前計算[0...i]各個連續字段總和。curarrary中的第i個元素包含array[0...i]中各個數的累加和，所以x[i...j]中各個數的總和可以通過計算curarray[j] -curarray[i-1]得到.
算法2_2的偽代碼描述如下：
1 curarray[-1] = 0
2 for(i=0;i<n;++i)
3 curarray[i] = curarray[i-1]+x[i]
4 maxsofar = 0
5 for(i=0;i<n;++i)
6 for(j=i;j<n;++j)
7 sum = curarray[j]-curarray[i-1]
8 maxsofar = max(maxsofar,sum)
算法3：可以考慮采用法治算法。初始問題是要處理大小為n的數組，所以可以將其劃分為兩個子數組a和b，然後遞歸的找出a、b中元素總和最大的子數組分別為MaxA、MaxB。而最大子數組要麽在a中，要麽在b中，要麽跨越a和b之間的邊界，我們將跨越邊界的最大子數組記為MaxC。我們通過分治算法計算處了MaxA和MaxB，通過某種辦法計算處MaxC。然後返回三個中的最大值就是我們所要的最大子數組和。算法的時間復雜度為O(nlogn)。如何計算MaxC呢？通過觀察發現，MaxC在a中的部分是a中包含右邊界的最大子數組，而MaxC在b中的部分是b中包含左邊界的最大子數組。將這些綜合一起我們得到算法3：
1 int maxsum3(1,n)
2 {
3 if(n<1) //空數組
4 return 0
5 if(n==1)
6 //只有一個元素的數組
7 return array[1]
8 mid = n/2 //分為兩部分
9 lmax = tempsum =0
10 //包含右邊界的最大子數組和
11 for(i=mid;i>=1;--i)
12 sum + array[i]
13 lmax = max(lmax,sum)
14 rmax = sum =0;//包含左邊界的最大子數組和
15 for(i=mid;i<n;++i)
16 sum += array[i]
17 rmax = max(rmax,sum)
18 return max(lmax+rmax,maxsum3(1,mid),maxsum3(mid+1,n))
19 }
算法4：我們現在采用操作數組的最簡單的算法：從數組最左端(元素x[0])開始掃描，一直到最右端(元素array[n-1])為止，並記下所遇到的最大總和的子數組。最大總和開始設為0.假設我們已經解決了array[0...i-1]的問題，那麽如何將其擴展為包含x[i]的問題呢？我們用類似於分治算法的原理：前i個元素中，最大總和子數組要麽在前i-1個元素中（將其存maxsofar中），要麽其結束位置為i（將其存入maxendinghere中）。不從頭開始計算結束位置為i的最大子數組，而是利用結束位置為i-1的最大子數組進行計算。這樣就得到了算法4：
1 maxsofar = 0
2 maxendinghere = 0
3 for(i=0;i<n;++i)
4 maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0)
5 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere)
理解這個程序的關鍵在於maxendinghere。在循環中第一個賦值語句之前，maxendinghere是結束位置為i-1的最大子數組的和，賦值語句將其修改為結束位置為i的最大子數組的和。若加上array[i]的後的結果為正值，則該賦值語句使maxendinghere增大x[i]，若加上x[i]之後結果為負值，該賦值語句將maxendinghere重新設置為0（因為結束位置為i的最大子數組現在為空）。這個地方有些難度，需要認真思考揣摩。時間復雜度為O(n),線性算法，效率最高。
下面針對這4個算法寫一個完成的程序來進行測試，程序如下：
1 。#include <iostream>
2 using namespace std; //求兩個數種最大值
3 int max(const int m,const int n)
4 {
5 return m>n ? m : n;
6 } //求三個整數中的最大值
7 int max(const int x,const int y,const int z)
8 {
9 int temp = x>y ? x : y;
10 temp = temp > z ? temp : z;
11 return temp;
12 } //算法1函數實現
13 int maxsum1(int *array,const size_t len)
14 {
15 int maxsofar = 0;
16 int tempsum = 0;
17 for(size_t i=0;i<len;++i)
18 for(size_t j=i;j<len;++j)
19 {
20 tempsum = 0;
21 for(size_t k =i;k<=j;++k)
22 {
23 tempsum += array[k];
24 maxsofar = max(maxsofar,tempsum);
25 }
26 }
27 return maxsofar;
28 } //算法2.1的實現
29 int maxsum2_1(int *array,const size_t len)
30 {
31 int maxsofar = 0;
32 int tempsum = 0;
33 for(size_t i=0;i<len;++i)
34 {
35 tempsum = 0;
36 for(size_t j=i;j<len;++j)
37 {
38 tempsum += array[j];
39 maxsofar = max(maxsofar,tempsum);
40 }
41 }
42 return maxsofar;
43 } //算法2.2的實現
44 int maxsum2_2(int *array,const size_t len)
45 {
46 int *curarray =NULL;
47 int maxsofar = 0;
48 if(len>0)
49 curarray = new int[len];
50 curarray[-1] = 0;
51 for(size_t i=0;i<len;++i)
52 curarray[i] = curarray[i-1] + array[i];
53 for(size_t j=0;j<len;++j)
54 for(size_t k=j;k<len;++k)
55 //tempsum = curarray[k] - curarray[j-1];
56 maxsofar = max(maxsofar,curarray[k]-curarray[j-1]);
57 return maxsofar;
58 } //算法3的實現
59 int maxsum3(int *array,const int begin,const int end)
60 {
61 int mid = 0;
62 int lmax=0,rmax =0;
63 int tempsum = 0;
64 if(begin==end)
65 return array[begin];
66 mid = (begin+end) / 2;
67 for(int i=mid;i>=begin;--i)
68 {
69 tempsum += array[i];
70 lmax = max(lmax,tempsum);
71 }
72 tempsum = 0;
73 for(int j=mid+1;j<=end;++j)
74 {
75 tempsum += array[j];
76 rmax = max(rmax,tempsum);
77 }
78 return max(lmax+rmax,maxsum3(array,begin,mid),maxsum3(array,mid+1,end));
79 } //算法4的實現
80 int maxsum4(int *array,const size_t len)
81 {
82 int maxendinghere = 0;
83 int maxsofar = 0;
84 for(size_t i=0;i<len;++i)
85 {
86 maxendinghere = max(maxendinghere+array[i],0);
87 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere);
88 }
89 return maxsofar;
90 } int main()
91 {
92 int array[10] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};
93 int choise;
94 cout<<"1.算法1"<<endl;
95 cout<<"2.算法2_1"<<endl;
96 cout<<"1.算法1"<<endl;
97 cout<<"3.算法3"<<endl;
98 cout<<"4.算法4"<<endl;
99 cout<<"5.算法2_2" <<endl;
100 cout<<"0.退出"<<endl;
101 while(1)
102 {
103 cout<<"選擇算法：";
104 cin>>choise;
105 cout<<"數組的最大字段和為：";
106 switch(choise)
107 {
108 case 1:
109 cout<<maxsum1(array,10)<<endl;
110 break;
111 case 2:
112 cout<<maxsum2_1(array,10)<<endl;
113 break;
114 case 3:
115 cout<<maxsum3(array,0,9)<<endl;
116 break;
117 case 4:
118 cout<<maxsum4(array,10)<<endl;
119 break;
120 case 5:
121 cout<<maxsum2_2(array,10)<<endl;
122 break;
123 case 0:
124 exit(0);
125 }
126 }
127 return 0;
128 }
參考文獻：《編程珠璣》第二版 第八章 算法設計的藝術
數組的連續最大子段和