Hulu機器學習問題與解答系列 | 二十四：隨機梯度下降法
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今天的內容是
【隨機梯度下降法】
場景描述
深度學習得以在近幾年迅速占領工業界和學術界的高地，重要原因之一是數據量的爆炸式增長。如下圖所示，隨著數據量的增長，傳統機器學習算法的性能會進入平臺期，而深度學習算法因其強大的表示能力，性能得以持續增長，甚至在一些任務上超越人類。因此有人戲稱，“得數據者得天下”。
經典的優化方法，例如梯度下降法，每次叠代更新需要用到所有的訓練數據，這給求解大數據、大規模的優化問題帶來了挑戰。掌握基於大量訓練數據求解模型的方法，對於掌握機器學習，尤其是深度學習至關重要。
問題描述
針對訓練數據量過大的問題，當前有哪些優化求解算法？
先驗知識：概率論、梯度下降法
解答與分析
在機器學習中，優化問題的目標函數通常可以表示成
其中θ是待優化的模型參數，x是模型輸入，f(x, θ)是模型的實際輸出，y是模型的目標輸出，L(·,·)刻畫了模型在數據(x, y)上的損失，Pdata表示數據的分布，E表示期望。J(θ)刻畫了當參數為θ時，模型在所有數據上的平均損失，我們希望能夠找到使得平均損失最小的模型參數，也就是求解優化問題
為了求解該問題，梯度下降法的叠代更新公式為
其中α＞0是步長。若采用所有訓練數據的平均損失來近似目標函數及其梯度，即
其中M表示訓練數據的個數，則對模型參數的單次更新需要遍歷所有的訓練數據，這在M
為了解決該問題，隨機梯度下降法（stochastic gradient descent, SGD）采用單個訓練數據的損失近似平均損失，即
因此，隨機梯度下降法用單個訓練數據即可對模型參數進行一次更新，大大加快了收斂速率。該方法也非常適用於數據源源不斷到來的在線場景。
為了降低梯度的方差從而使得算法的收斂更加穩定，也為了充分利用高度優化的矩陣運算操作，實際中我們會同時處理若幹訓練數據，該方法被稱為小批量梯度下降法（mini-batch gradient descent）。假設需要處理m個訓練數據{xi1, yi1, …, xim, yim}，則目標函數及其梯度為
對於小批量梯度下降法，有三點需要註意的地方：
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如何選取參數m？在不同的應用中，最優的m通常會不一樣，需要通過調參選取。一般m取2的冪次時能充分利用矩陣運算操作，所以我們可以在2的冪次中挑選最優的取值，例如64，128，256，512等。
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如何挑選m個訓練數據？為了避免數據的特定順序給算法收斂帶來的影響，一般會在每次遍歷訓練數據之前，先對所有的數據進行隨機排序，然後順序挑選m個訓練數據進行訓練，直至遍歷完所有的數據。
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如何選取學習速率α？為了加快收斂速率同時提高求解精度，通常會選取遞減的學習速率方案。算法一開始能夠以較快的速率收斂到最優解附近，再以較小的速率精細調整最優解。最優的學習速率方案也通常需要調參才能得到。
綜上，我們通常采用小批量梯度下降法解決訓練數據量過大的問題，每次叠代更新只需要處理m個訓練數據即可，其中m是一個遠小於總數據量M的常數，能夠大大加快收斂速率。
下一題預告
【初識生成式對抗網絡（GANs）】
場景描述
2014年的一天，Goodfellow與好友相約到酒吧聊天。也許平日裏工作壓力太大，腦細胞已耗盡了創作的激情，在酒吧的片刻放松催生了一個絕妙的學術點子，然後就有了GANs的傳說。GANs全稱為生成式對抗網絡，是一個訓練生成模型的新框架。
GANs自提出之日起，就迅速風靡深度學習的各個角落，GANs的變種更是雨後春筍般進入人們的視野，諸如：WGAN、InfoGAN、f-GANs、BiGAN、DCGAN、IRGAN等等。
GANs之火，就連任何初入深度學習的新手都能略說一二。GANs剛提出時沒有華麗的數學推演，描繪出的是一幅魅力感極強的故事畫面，恰好契合了東方文化中太極圖的深刻含義——萬物在相生相克中演化，聽起來很有意思。想象GANs框架是一幅太極圖，“太極生兩儀”，這裏“兩儀”就是生成器和判別器，生成器負責“生”，判別器負責“滅”，這一生一滅間有了萬物。具體說來，生成器在初始混沌中孕育有形萬物，判別器甄別過濾有形萬物，扮演一種末日大審判的角色。回到嚴謹的學術語言上，生成器從一個先驗分布中采得隨機信號，經過神經網絡的“妙手”轉換，得到一個模擬真實數據的樣本；判別器既接收來自生成器的模擬樣本，也接收來自實際數據集的真實樣本，我們不告訴判別器這個樣本是哪裏來的，需要它判斷樣本的來源。判別器試圖區分這兩類樣本，生成器則試圖造出迷惑判別器的模擬樣本，兩者自然構成一對“冤家”，置身於一種對抗的環境。然而，對抗不是目的，在對抗中讓雙方能力各有所長才是目的，理想情況下最終達到一種平衡，使得雙方的能力以臻完美，彼此都沒有了更進一步的空間。
問題描述
關於GANs，從基本理論到具體模型再到實驗設計，我們依次思考三個問題：
（1）GANs可看作一個雙人minimax遊戲，請給出遊戲的value function。我們知道在理想情況下最終會達到一個納什均衡點，此時生成器表示為G*，判別器表示為D*，請給出解(G*, D*)和value function的值；在未達到均衡時，我們將生成器G固定，去尋找當前下最優的判別器DG*，請給出DG*和此時的value function。至此的答案都很容易在原論文中找到，這裏進一步發問，倘若固定D，我們將G優化到底，那麽解GD*和此時的value function是什麽？
（2）發明GANs的初衷是為了更好地對概率生成模型作估計，我們知道在應用傳統概率生成模型（如：馬爾科夫場、貝葉斯網）時會涉及大量難以完成的概率推斷計算，GANs是如何避開這類計算的？
（3）實驗中訓練GANs的過程會如描述的那麽完美嗎，求解G的最小化目標函數
在訓練中會遇到什麽問題，你有什麽解決方案？
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