群論是數學分支之一，在OI中的運用主要在於置換群和Burnside引理，polya定理。

http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/72639208

http://blog.csdn.net/gengmingrui/article/details/50564027

http://www.cnblogs.com/candy99/category/955780.html

https://files.cnblogs.com/files/HocRiser/Burnside.pdf

首先介紹群的概念

群是一個集合和一個定義在集合上的運算*組成的有序二元組，這個集合中的元素包含非常廣泛（元素本身就可以是一種運算等等）。群需要滿足四個公理：封閉性（對於*運算封閉），結合性（a*b=b*a)，存在幺元（e*a=a），任意元素存在逆元（a*a^(-1)=e）。

然後是置換群G：一個置換規定一種變換法則，將集合中的一些元素映射成另一些。

OI中一般可以認為“元素”是一個數組$\{a_i\}$，對這個數組的變換（如交換某兩個元素，翻轉等等）就是置換，置換群就是一個置換的集合加上一個“疊加”運算（就是兩個置換一次操作）。

有了這些概念，就可以引入Burnside的概念了。

不動點$c(a_i)$：若某元素在置換$a_i$下不改變，則成它為置換$a_i$的不動點。

元素軌道$E_k$（等價類）：一個元素經過置換能得到的所有元素集合（這裏元素可以看做一個點，置換可以看作走一條邊，軌道就是能走到的所有點的集合）。

穩定化子$Z_k$ ：使操作後這個元素不變的置換集合（即這個元素是此集合內所有置換的不動點）。

拉格朗日定理：一個有限群的子群的元素個數必能整除這個群的元素個數。

軌道－穩定化子定理：$|E_k|*|Z_k|=G$

由上式即可推出Burnside引理：一個置換群的等價類的個數等於各置換不動點個數的平均值。

證明見上面第四個網址，下同。

但是要求每個置換的不動點個數過於復雜，這時候就需要用到polya定理，就是將不動點的個數具體化為顏色的循環個數次方。

概念理解之後就可以做練習了，下面是例題。

切記：循環是所有問題的突破口，DP與數學通式是大部分題目的標算。

不涉及定理的題目：POJ3270,POJ2369,POJ1721,POJ3128,BZOJ1025

polya定理：BZOJ1004,POJ2409,POJ2154

置換群學習筆記