[SCOI2014]方伯伯運椰子
題目描述
四川的方伯伯為了致富，決定引進海南的椰子樹。方伯伯的椰子園十分現代化，椰子園中有一套獨特的交通系統。
現在用點來表示交通節點，邊來表示道路。這樣，方伯伯的椰子園就可以看作一個有 n + 2 個交通節點，m條邊的有向無環圖。
n +1 號點為入口，n +2 號點為出口。每條道路都有 6 個參數，ui，vi，ai，bi，ci，di，分別表示，
該道路從 ui 號點通向 vi 號點，將它的容量壓縮一次要 ai 的花費，容量擴大一次要 bi 的花費，
該條道路當前的運輸容量上限為 ci，並且每單位運輸量通過該道路要 di 的費用。
在這個交通網絡中，只有一條道路與起點相連。因為弄壞了這條道路就會導致整個交通網絡癱瘓，聰明的方伯伯決定絕不對這條道路進行調整，
也就是說，現在除了這條道路之外，對其余道路都可以進行調整。
有兩種調整方式：
-
選擇一條道路，將其進行一次壓縮，這條道路的容量會下降 1 單位。
- 選擇一條道路，將其進行一次擴容，這條道路的容量會上升 1 單位。
一條道路可以被多次調整。
由於很久以前，方伯伯就請過一個工程師，對這個交通網絡進行過一次大的優化調整。
所以現在所有的道路都被完全的利用起來了，即每條道路的負荷都是滿的（每條道路的流量等於其容量）。
但方伯伯一想到自己的海南椰子會大豐收，就十分擔心巨大的運輸量下，會導致過多的花費。
因此，方伯伯決定至少進行一次調整，調整之後，必須要保持每條道路滿負荷，且總交通量不會減少。
設調整後的總費用是 Y，調整之前的總費用是 X。
現在方伯伯想知道，最優調整比率是多少，即假設他進行了 k 次調整，(X - Y)/k最大能是多少？
註：總費用 = 交通網絡的運輸花費 + 調整的花費
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行包含二個整數N，M接下來M行代表M條邊，表示這個交通網絡每行六個整數，表示Ui,Vi,Ai,Bi,Ci,Di接下來一行包含一條邊，表示連接起點的邊
輸出格式：
一個浮點數，保留二位小數。表示答案，數據保證答案大於0
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：5 10 1 5 13 13 0 412 2 5 30 18 396 148 1 5 33 31 0 39 4 5 22 4 0 786 4 5 13 32 0 561 4 5 3 48 0 460 2 5 32 47 604 258 5 7 44 37 75 164 5 7 34 50 925 441 6 2 26 38 1000 22
103.00
說明
1<=N<=5000
0<=M<=3000
1<=Ui,Vi<=N+2
0<=Ai,Bi<=500
0<=Ci<=10000
0<=Di<=1000
解：
分數規劃+負環
我們一開始會想到網絡流。
首先我們假設圖中一開始流量為0，目前我們處於增廣階段，那麽對於題目中的兩種調整方式
壓縮 就相當於增廣時退流
擴容 就相當於不斷增廣
因為要“調整之後，必須要保持每條道路滿負荷，且總交通量不會減少”，那麽單純擴容顯然是不會更優的
可能存在的更優方案為 在保證最大流不變的情況下使得壓縮的擴容的總費用加起來最少。
也就是說存在如下殘量網絡：
擴容 u -> v 花費 b+d
壓縮 （即相當於反向邊有流量的話） 滿足 c>0 時 v -> u 花費 -(b-a) 即a-b
然後我們考慮對問題求解，（這一看就是分數規劃） 我們就想起了二分。
假設當前答案為 ans ,令 Z=X-Y
那麽不優的情況一定滿足 Z >= ans * k 也就是 Z - ans * k >=0 ==> ans * k -Z <= 0
Z=X-Y 也就是說 Z=調整之前的總費用是 - 調整後的總費用
也就是 Z=Σ我們在殘量網絡中走過的邊權和 k=我們在殘量網絡中經過的點
到這裏，我們要知道一個定理。
消圈定理
所謂消圈定理，就是在某個流 ff 中，如果其對應的殘余網絡沒有負圈（剩余流量為 00 的邊視為不存在），
那它一定就是當前流量下的最小費用流。
反之亦然。即「ff 是最小費用流等價於其殘余網絡中沒有負圈」。
有了這個定理，我們就好做了。
我們二分ans,將每條邊邊權加上ans（把Σ降掉），判斷是否存在負環
搞定。
還不懂得看代碼吧。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<queue> 6 #define ll long long 7 #define DB double 8 #define eps 1e-3 9 using namespace std; 10 inline int read() 11 { 12 int x=0,w=1;char ch=getchar(); 13 while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘) w=-1;ch=getchar();} 14 while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar(); 15 return x*w; 16 } 17 const int N=1e6+10; 18 struct node{ 19 int u,v; 20 DB c; 21 int ne; 22 DB w; 23 }e[N]; 24 int tot,h[N],n,m; 25 void add(int u,int v,DB c) 26 { 27 tot++;e[tot]=(node){u,v,c,h[u],0};h[u]=tot; 28 } 29 int ui,vi,ai,bi,ci,di; 30 DB L,R,mid,ans,d[N]; 31 bool v[N],fg; 32 void spfa(int u) 33 { 34 if(fg) return; 35 v[u]=1; 36 for(int i=h[u];i;i=e[i].ne) 37 { 38 int rr=e[i].v; 39 if(d[rr]>d[u]+e[i].w) 40 { 41 d[rr]=d[u]+e[i].w; 42 if(v[rr] || fg==1){fg=1;break;} 43 spfa(rr); 44 } 45 } 46 v[u]=0; 47 } 48 bool ok() 49 { 50 for(int i=1;i<=tot;++i) e[i].w=e[i].c+mid; 51 fg=0; 52 for(int i=1;i<=n;++i) v[i]=0,d[i]=0; 53 for(int i=1;i<=n;++i) 54 { 55 spfa(i); 56 if(fg) break; 57 } 58 return fg; 59 } 60 int main() 61 { 62 n=read();m=read(); 63 for(int i=1;i<=m;++i) 64 { 65 scanf("%d%d%d%d%d%d",&ui,&vi,&ai,&bi,&ci,&di); 66 add(ui,vi,(DB)(bi+di)); 67 if(ci>0)add(vi,ui,(DB)(ai-di)); 68 } 69 n+=2; 70 L=0;R=10000000000; 71 while(L+eps<=R) 72 { 73 mid=(L+R)/2.0; 74 if(ok()) L=mid+eps,ans=mid; 75 else R=mid-eps; 76 } 77 printf("%.2lf",ans); 78 return 0; 79 }View Code
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[SCOI2014]方伯伯運椰子