題目大意

　　求\(n\)個點\(n\)條邊的無向連通圖的個數

　　\(n\leq 5000\)

題解

　　顯然是一個環上有很多外向樹。

　　首先有一個東西：\(n\)個點選\(k\)個點作為樹的根的生成森林個數為：
\[ \binom{n}{k}\times n^{n-k-1}\times k \]
　　前面\(\binom{n}{k}\)是這些根的選編號的方案數，後面是prufer序列得到的：前面\(n-k-1\)個數可以是\(1\)~\(n\)，第\(n-k\)個數是\(1\)~\(k\)。

　　我的理解是：每個序列決定了一部分點作為"葉子節點"，剩下的每個點按順序選一個編號最小的"葉子節點"作為這個點的兒子（選編號最小的是因為1.如果一個點可以選多個兒子就不會重復計數；2.兩個數的先後順序不同，那麽選的兒子也不同，會讓先後順序成為影響因素），然後如果這個點不能再選兒子，那麽這個點就會成為"葉子節點"。選了\(n-k-1\)

　　最後\(k\)個點的環的排列方式有\(\frac{(k-1)!}{2}\)。你可以選編號最小的點為"根"，剩下\(k-1\)個點每次選一個點連向上一個點，最後一個點再連向第一個點。因為環可以翻轉，所以方案數要除以\(2\)。你也可以認為是先生成一個排列，然後旋轉這個環（除以\(k\)），然後翻轉這個環（除以\(2\)）。

　　最終的式子是
\[ \begin{align} &~~~~~\sum_{k=3}^{n}\binom{n}{k}\times n^{n-k-1}\times k\times \frac{(k-1)!}{2}\&=\sum_{k=3}^{n}\frac{n!\times n^{n-k-1}\times k\times (k-1)!}{k!\times (n-k)!\times 2}\&=\sum_{k=3}^{n}\frac{n!n^{n-k-1}}{2(n-k)!} \end{align} \]

　　時間復雜度：\(O(n^2)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int p=10000;
struct bign
{
    int a[5010];
    bign()
    {
        memset(a,0
 
,sizeof a);
    }
    int &operator [](int x)
    {
        return a[x];
    }
    bign &operator *=(int v)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=g+a[i]*v;
            g=s/p;
            a[i]=s%p;
        }
        return a;
    }
    bign &operator /=(int v)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=5000;i>=1;i--)
        {
            s=g*p+a[i];
            a[i]=s/v;
            g=s%v;
        }
        g=0;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=g+a[i];
            a[i]=s%p;
            g=s/p;
        }
        return a;
    }
    bign &operator +=(bign &b)
    {
        int i,s,g=0;
        bign &a=*this;
        for(i=1;i<=5000;i++)
        {
            s=a[i]+b[i]+g;
            a[i]=s%p;
            g=s/p;
        }
        return a;
    }
};
bign a,ans;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    a[1]=1;
    for(i=2;i<=n-1;i++)
        a*=i;
    ans+=a;
    for(i=n-1;i>=3;i--)
    {
        a*=n;
        a/=n-i;
        ans+=a;
    }
    ans/=2;
    for(i=5000;!ans[i];i--);
    printf("%d",ans[i]);
    for(i--;i;i--)
        printf("%04d",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

【XSY1295】calc n個點n條邊無向連通圖計數 prufer序列