Description

給出一個N個點M條邊的無向圖，經過一個點的代價是進入和離開這個點的兩條邊的邊權的較大值，求從起點1到點N的最小代價。起點的代價是離開起點的邊的邊權，終點的代價是進入終點的邊的邊權

N<=100000

M<=200000

Solution

這題關鍵在於化邊為點，把無向邊拆成2條有向邊

考慮最直白的一種建圖方法，對於每一個點u，它的每一條入邊向所有出邊連邊

但這樣邊數太多了，最壞是\(M^2\)條邊，不可行

考慮用差值來建圖，每條出邊向第一條比它大的出邊連一條權值為權差值的邊，並且反向連一條權值為0的邊

然後每條入邊向對應的出邊連一條為自身權值的邊

設一個超級源點S和匯點T，S向1的所以出邊連邊，n的所以出邊向T連邊

這樣邊數是m級別的，然後跑最短路即可，

這題邊數較多，我用spfa過不了，用Dijkstra堆優化可以過

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#define ll long long
#define Pa pair<ll,int>
using namespace std;

struct info{int to,nex,w;}e[400010],ne[2000010];
int n,m,tot=1,head[400010],nhead[400010
 
],S,T;
ll dis[400010];
priority_queue<Pa,vector<Pa>,greater<Pa> > q;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return
 
 x*f;
}

inline void Link(int u,int v,int w){
    e[++tot].to=v;e[tot].w=w;e[tot].nex=head[u];head[u]=tot;
}

inline void nLink(int u,int v,int w){
    ne[++tot].to=v;ne[tot].w=w;ne[tot].nex=nhead[u];nhead[u]=tot;
}

bool cmp(int a,int b){return e[a].w<e[b].w;}
int tmp[400010],tp;
void Build(){
    tot=1;
    S=1,T=m*2+2;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        tp=0;
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nex) tmp[++tp]=j;
        sort(tmp+1,tmp+tp+1,cmp);
        for(int j=1;j<=tp;++j){
            int u=tmp[j],nex=tmp[j+1];
            if(e[u].to==n) nLink(u,T,e[u].w);
            if(i==1) nLink(S,u,e[u].w);
            nLink(u^1,u,e[u].w);
            if(j<tp) nLink(u,nex,e[nex].w-e[u].w),nLink(nex,u,0);
        }
    }
}

void Dijkstra(){
    for(int i=S;i<=T;++i)dis[i]=1ll<<60;
    q.push(make_pair(0,S));
    dis[S]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().second;
        ll Dis=q.top().first; 
        q.pop();
        if(Dis>dis[u]) continue;
        for(int i=nhead[u];i;i=ne[i].nex){
            int v=ne[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+ne[i].w){
                dis[v]=dis[u]+ne[i].w;
                q.push(make_pair(dis[v],v));
            }           
        }     
    }
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        Link(u,v,w);
        Link(v,u,w);
    }
    Build();
    Dijkstra();
    printf("%lld\n",dis[T]);
    return 0;
}

【Bzoj4289】PA2012 Tax（Dijkstra+技巧建圖）