https://www.luogu.org/problemnew/show/U21403

有標號為 $1, 2, ..., n$ 的小球，每個小球的標號 $x$ 可以替換為任意一個 $x$ 的倍數，請你找到一種變換，使得【標號 $x$ 的出現次數為奇數】的情況盡可能少。

$n \le 10 ^ 3$

相當於可以將小球劃分到任意一個其倍數的集合內，使得大小為奇數的集合盡可能少，即

$$\sum_x (x \mod 2)$$

變形為

$$\sum_x (x - 2 \lfloor \frac{x}{2} \rfloor) = n - 2 \sum_x \lfloor \frac{x}{2} \rfloor$$

暴力的想法是對同一個集合內的點兩兩連邊，成為一個團，跑一般圖最大匹配，但是會 TLE 。

考慮優化建圖，對每個集合，把集合中的點排成一個環，在兩個相鄰的點之間建立一個輔助點，輔助點之間連邊成環，一個輔助點與相鄰兩個點連邊。若這個塊剩下 $x$ 個點，那麽這個塊的最大匹配為 $\lfloor \frac{x + k}{2} \rfloor = \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \frac{k}{2}$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i, s, t) for (int i = (s), _ = (t); i <= _; i ++)
#define
 
 Fo(i, s, t) for (int i = (s), _ = (t); i < _; i ++)
#define pb push_back
const int N = 20000;
int n, tot; vector<int> li[N], gr[N];
int ans, mat[N], u[N];
void Init(int x, int y) { gr[x].pb(y), gr[y].pb(x); }
int DFS(int x) {
    u[x] = 1;
    for (int v : gr[x]) {
        int w = mat[v];
        
 
if (! w) return mat[x] = v, mat[v] = x, 1;
        if (! u[w]) {
            mat[x] = v, mat[v] = x, mat[w] = 0;
            if (DFS(w)) return 1;
            mat[x] = 0, mat[v] = w, mat[w] = v;
        }
    }
    return 0;
}
int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        //freopen("403.in", "r", stdin);
    #endif
    cin >> n, tot = n;
    F(i, 1, n)
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            li[j].pb(i);
    F(cen, 1, n) {
        int s = li[cen].size(), c = s + (s & 1);
        Fo(i, 0, c)
            Init(tot + 1 + i, tot + 1 + (i + 1) % c);
        Fo(i, 0, s) {
            Init(li[cen][i], tot + 1 + i);
            Init(li[cen][i], tot + 1 + (i + 1) % c);
        }
        tot += c;
    }
    ans = - (tot - n) >> 1;
    F(i, 1, tot)
        if (! mat[i]) {
            memset(u, 0, sizeof u);
            ans += DFS(i);
        }
    cout << n - 2 * ans << endl;
    return 0;
}

【U21403】倍數變換