首先,我們先來認識一下什麽叫做TSP問題

旅行商問題，即TSP問題（Traveling Salesman Problem）又譯為旅行推銷員問題、貨郎擔問題，是數學領域中著名問題之一。假設有一個旅行商人要拜訪n個城市，他必須選擇所要走的路徑，路徑的限制是每個城市只能拜訪一次，而且最後要回到原來出發的城市。路徑的選擇目標是要求得的路徑路程為所有路徑之中的最小值。假設這個n很小,我們就可以使用狀態壓縮的方法求解,在一般的TSP問題中的用狀壓求解的題目,我們可以定義一個dp數組,dp[i][v],其中v表示一個集合,dp[i][v]表示到i這個點經過v中所有點的最小路徑.

假設我們從s出發,最後再回到s

1.那麽最開始,只有dp[s][{s}]=0,其余均等於inf

2.其他情況下,dp[i][state]=min(dp[i][state],dp[j][state‘]+c[j][i])

3.最後我們的結果,ans=min(ans,dp[i][state]+c[i][s]),因為我們要求的是一個環的最短路,所以還要加上回來的距離

那麽還有一個問題,我們要如何存下這個集合,當然是用狀態壓縮的方法,s|1<<(k),表示由原來的狀態s轉移到加上k這個點的狀態,那麽就很好求解了對吧

POJ3311

題目大意:多組數據,給定n,一個起點0,以及這n+1個點之間的距離,求從起點出發經過每個點一次,再回到起點的最短距離.註意到n<=10,我們可以使用狀壓dp來做

思路:首先先預處理出這n+1個點之間的最短距離,因為n很小,我們可以使用floyed來處理.然後就是套我上面的說的三種情況,具體可以代碼中的註解

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<string>
 5 #include<cstring>
 6 #define in(i) (i=read())
 7 using namespace std;
 8 const int inf=0x3f3f3f;
 9 int
 
 read()
10 {
11   int ans=0,f=1;
12   char i=getchar();
13   while(i<‘0‘||i>‘9‘)
14     {
15       if(i==‘-‘) f=-1;
16       i=getchar();
17     }
18   while(i>=‘0‘&&i<=‘9‘)
19     {
20       ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-‘0‘;
21       i=getchar();
22     }
23   return ans*f;
24 }
25 int n;
26 int dp[13][1<<13];
27 int mp[13][13];
28 void floyed()
29 {
30   for(int k=1;k<=n;k++)
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32       for(int j=1;j<=n;j++)
33     mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);
34   return;
35 }
36 int main()
37 {
38   while(1)
39     {
40       int ans=inf;
41       in(n);
42       if(!n) break;
43       n++;
44       for(int i=1;i<=n;i++)
45     for(int j=1;j<=n;j++)
46       in(mp[i][j]);//輸入每兩個點之間的距離
47       floyed();//求出n+1個點兩兩之間的最短距離
48       memset(dp,inf,sizeof(dp));
49       dp[1][1]=0;//默認以1為起點,集合內最開始狀態為1<<(1-1)=1,所以dp[1][1]=0
50       for(int i=1;i<(1<<n);i++)//枚舉狀態
51     {
52       for(int j=1;j<=n;j++)//枚舉每個點
53         {
54           if((i&(1<<(j-1)))!=0)//判斷這個是否在集合中
55         {
56           for(int k=1;k<=n;k++)//如果不在就以它為中轉點轉移
57             {
58               if(!(i&(1<<(k-1))))
59             {
60               dp[k][i|(1<<(k-1))]=min(dp[k][i|(1<<(k-1))],dp[j][i]+mp[j][k]);//狀態轉移方程
61             }
62             }
63         }
64         }
65     }
66       for(int i=2;i<=n;i++)
67     ans=min(ans,dp[i][(1<<n)-1]+mp[i][1]);//還要回來才是一個環,因此還要加上到起點的距離
68       cout<<ans<<endl;
69     }
70 }

TSP問題之狀壓dp法