題目描述

　　有\(1\sim n\)一共\(n\)個數。保證\(n\)為偶數。

　　你要把這\(2n\)個數兩兩配對，一共配成\(n\)對。每一對的權值是他們兩個數的和。

　　你想要知道這\(n\)對裏最大的權值的期望是多少。

　　請輸出答案對\(1000000007\)取模的值。

　　\(n\leq 500000\)

題解

　　枚舉\(v\)，計算最大權值\(\leq v\)的概率。

　　從大到小枚舉\(> \frac{v}{2}\)的數，這些數每次都有\(v-n\)種選擇，方案數為
\[ {(v-n)}^{n-\frac{v}{2}} \]
　　\(\leq \frac{v}{2}\)的數可以隨便匹配。

　　記\(f(x)\)

　　時間復雜度：\(O(n\log n)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1
 
;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
ll f[500010];
ll g[1000010];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    int n;
    scanf("%d",&n);
    ll ans=0
 
;
    f[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i+=2)
        f[i]=f[i-2]*(i-1)%p;
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        g[i]=fp(i-n,n-i/2)*f[n-2*(n-i/2)]%p;
    for(int i=2*n;i>=n+1;i--)
        g[i]=(g[i]-g[i-1])%p;
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        ans=(ans+g[i]*i)%p;
    ans=ans*fp(f[n],p-2)%p;
    ans=(ans+p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2786】Mythological VI 數學