大家說他是卡特蘭數，其實也不為過，一開始只是用卡特蘭數來推這道題，一直沒有懟出來，後來發現其實卡特蘭數只不過是一種組合數學，我們可以退一步直接用組合數學來解決，這道題運用組合數的思想主要用到補集與幾何法。

假設以矩形左下角為坐標原點，（以下所說路徑均滿足只能向右或向上走），我們假設原矩陣為a，那麽他關於l(y=x+1)，對稱矩形就是b（黑色），那麽出現了c矩陣，他的長為n+1，寬為m-1，易知從(0,0)到(n,m)（a右上角）的路徑（在矩形a內）的種數就是C(n+m,m)，然後我告訴你從(0,0)到(m-1,n+1)（c右上角）的路徑（在矩形c內）種數C(n+m,m-1)，就是原矩陣中不合法路徑個數，你不信很正常.....

那麽讓我們想一下。從(0,0)到(n,m)的不合法路徑（在矩形a內）一定滿足若幹次碰到了l與a圍成的三角型的邊界之一——l在a內部分，然後在最後一次碰到後離開並駛向(n,m)，從(0,0)到(m-1,n+1)的路徑（在矩形c內）均滿足若幹次碰到了l與a圍成的三角型，然後在最後一次碰到後離開並駛向(m-1,n+1)，再然後我們發現在“離開”之前的走法滿足以上兩種路徑可以吻合，那麽“離開“之後呢——他離開時一定最後與l交於一點，那麽我們發現在l上的任意整點（在a內部分）與(n,m)和(m-1,n+1)分別作為兩個對角點形成的矩形全等，於是從一角到另一角的方案一一對應，於是證畢。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int P=10000;
struct Bigint{
  int a[5000];
  Bigint(){a[0]=a[1]=1;}
  inline friend Bigint operator - (Bigint a,Bigint b);
  inline friend Bigint operator * (Bigint a,int b);
  inline void operator -= (Bigint b){(*this)=(*this)-b;}
  inline 
 
void operator *= (int b){(*this)=(*this)*b;}
  inline void print();
}ans1,ans2;
inline void Bigint:: print(){
  printf("%d",a[a[0]]);
  for(int i=a[0]-1;i>0;--i)
    printf("%04d",a[i]);
}
inline Bigint operator - (Bigint a,Bigint b){
  for(int i=1;i<=a.a[0];++i){
    a.a[i]-=b.a[i];
    if(a.a[i]<0)
      a.a[i]+=P,a.a[i+1]--;
  }
  while(a.a[a.a[0]]==0)a.a[0]--;
  return a;
}
inline Bigint operator * (Bigint a,int b){
  int last=0;
  for(int i=1;i<=a.a[0];++i)
    a.a[i]=a.a[i]*b+last,last=a.a[i]/P,a.a[i]%=P;
  if(last)a.a[++a.a[0]]=last;
  return a;
}
int n,m;
int prime[P+10],len,mini[P+10];
bool isnot[P+10];
inline void get_prime(){
  for(int i=2;i<=P;++i){
    if(isnot[i]==false)prime[++len]=i,mini[i]=len;
    for(int j=1;prime[j]*i<=P;++j){
      isnot[prime[j]*i]=true,mini[prime[j]*i]=j;
      if(i%prime[j]==0)break;
    }
  }
}
int size[P];
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m),get_prime();
  for(int i=n+m,x;i>n;--i){
    x=i;
    while(mini[x])
      ++size[mini[x]],x/=prime[mini[x]];
  }
  for(int i=1,x;i<=m;++i){
    x=i;
    while(mini[x])
      --size[mini[x]],x/=prime[mini[x]];
  }
  for(int i=1;i<=len;++i)
    while(size[i])
      ans1*=prime[i],--size[i];
  for(int i=n+m,x;i>n+1;--i){
    x=i;
    while(mini[x])
      ++size[mini[x]],x/=prime[mini[x]];
  }
  for(int i=1,x;i<m;++i){
    x=i;
    while(mini[x])
      --size[mini[x]],x/=prime[mini[x]];
  }
  for(int i=1;i<=len;++i)
    while(size[i])
      ans2*=prime[i],--size[i];
  ans1-=ans2;
  ans1.print();
  return 0;
}

【BZOJ 3907】網格 組合數學