【題目】F. k-substrings

【題意】給定長度為n的串S，對於S的每個k-子串$s_ks_{k+1}...s_{n-k+1},k\in[1,\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil]$，找到滿足[奇數長度][嚴格子串][同時是前綴和後綴]的最長子串。n<=10^6。

【算法】字符串哈希+二分

【題解】任意兩個對應子串，它們有一個不變量——它們的中心一定是i和n-i+1。而且固定中心之後，能延伸的最長相等子串是可以二分+哈希得到的。

所以枚舉k，二分+哈希處理出以k為中心和對應串相等的最長子串半長L。

然後實際上是一個遞減序列覆蓋求單點最值的問題，有一個巧妙的解決方法，在k-L+1處標記答案，然後從前往後掃描每次和ans[i]=max{ans[i],ans[i-1]-2

復雜度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
int ans[maxn],n;
char s[maxn];
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
const int MOD1=993258975,MOD2=934384734,base1=233,base2=197
 
;
bool check(int l,int r,int L,int R){
    int x=r-l+1;//
    int ans1=(a[r]-1ll*a[l-1]*c[x]%MOD1+MOD1)%MOD1;
    int ans2=(a[R]-1ll*a[L-1]*c[x]%MOD1+MOD1)%MOD1;
    if(ans1!=ans2)return 0;
    ans1=(b[r]-1ll*b[l-1]*d[x]%MOD2+MOD2)%MOD2;
    ans2=(b[R]-1ll*b[L-1]*d[x]%MOD2+MOD2)%MOD2;
    if(ans1!=ans2)return
 
 0;
    return 1;
}
int main(){
    scanf("%d%s",&n,s+1);c[0]=d[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=(1ll*a[i-1]*base1+s[i])%MOD1,b[i]=(1ll*b[i-1]*base2+s[i])%MOD2;
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=1ll*c[i-1]*base1%MOD1,d[i]=1ll*d[i-1]*base2%MOD2;
    memset(ans,-1,sizeof(ans));
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        int l=1,r=i+1,mid;
        while(l<r){
            mid=(l+r)>>1;
            if(check(i-mid+1,i+mid-1,n-i+1-mid+1,n-i+1+mid-1))l=mid+1;else r=mid;
        }
        l--;
        ans[i-l+1]=max(ans[i-l+1],2*l-1);
    }
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        ans[i]=max(ans[i],ans[i-1]-2);
        printf("%d ",ans[i]);
    }
    if(n&1)printf("-1");
    return 0;
}

字符串哈希：將字符串換算成base進制的數字取模接近int的素模數，比較兩段字符串時判斷a[r]-a[l-1]*base^(r-l+1)是否相等即可。當然需要雙哈希。

如果是建哈希表，就建一條鏈存真實值。（參考插頭DP）

順便提一下樸素KMP處理一次詢問的方法：整個字符串跑出fail數組，那麽從n一直fail到最小的>0的位置就是最小首尾匹配串了。KMP的fail樹十分強大。

【CodeForces】961 F. k-substrings 字符串哈希+二分