第一章 函數與極限

1.1 函數及其性質

1.1.1 集合

集合：具有某種特定性質事物的全體稱為集合。

元素：組成這個集合的事物稱為該集合的元素。

集合與元素的關系：屬於∈，不屬於?。

集合的表示方法：枚舉法，描述法。

1.1.2 集合的運算

基本運算：並、交、差。

全集\基本集：研究的問題所限定的大集合。

余集\補集：I - A或者A^C 。

運算規律：交換律、結合律、分配律、對偶律、冪等律、吸收律。

1.1.3 區間與領域

有限區間：開區間(a,b) 閉區間[a,b] 半開區間[a,b) (a,b]。b-a：區間長度

無限區間：開區間(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半開區間[a,+∞) (-∞,a]

鄰域：以點x0為中心的任何開區間稱為點x0的鄰域，記作U(x0)。若δ是某一正數，則開區間(x0-δ,x0+δ)是點x0的一個鄰域，記作U(x0,δ)。

去心鄰域：將點x0去掉後的x0的鄰域，記作U(x0,δ)。

左鄰域：(x0-δ,x0)

右鄰域：(x0,x0+δ)

1.1.4 映射

X，Y是兩個非空集合，存在一個法則f，使得對X中的每個元素x，按法則f在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為X到Y的一個映射。

定義域D(f)，值域R(f)或f(X)。

滿射：R(f) = Y 單射：f(x1) ≠ f(x2) 一一映射：滿射+單射

泛函、變換、函數

逆映射：g:R(f) -> X (f是單射，y = f(x)，則 x = g(y))

復合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含於Y2, f g:X->Z。

1.1.5 函數

D是實數集，稱f:D->R為定義在D上的函數。y = f(x),x∈D。y是因變量，x是自變量，D稱為定義域。

1.1.6 函數的特性

（1）函數的有界性

X包含於D，若存在M使得f(x) <= M，則稱f(x)在X上有上界，類似可得下界的定義。數M使得|f(x)| <= M（x∈X），則稱f(x)在X上有界。

（2）函數的單調性

區間I包含於D，若對於I上的任意兩點x1,x2，當x1 <x2時，恒有f(x1) < f(x2)，則稱f(x)在區間I上單調遞增；若恒有f(x1) > f(x2)，則稱f(x)在I上單調遞減。

（3）函數的奇偶性

定義域D關於原點對稱，即若x∈D，則-x∈D。

若對任意的x∈D，都有f(x) = -f(-x)，則稱為奇函數；若對任意的x∈D，都有f(x) = f(-x)，則稱為偶函數。

（4）函數的周期性

定義域D，若存在一個整數T，使得對任意x∈D，有(x+-T)∈D，且恒成立，則稱f(x)為周期函數。

1.1.7 反函數和復合函數

函數f:D->f(D)是單射，存在逆映射f^-1:f(D)->D，稱此映射為函數f的反函數。

若f是單調函數，則必存在反函數，且反函數也是單調函數。

y=f(u),D(f),R(f) u=g(x) D(g),R(g) R(g)包含於D(f)，復合映射確定的函數為復合函數。

1.1.8 函數的四則運算

1.1.9 初等函數

冪函數、質數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、反雙曲正弦、反雙曲余弦、反雙曲正切等。

1.2 數列的極限

1.2.1 數列極限的定義

（1）數列的定義 對於每個n∈N+，按照某一法則，有唯一確定的實數xn與之對應，這些實數xn按照下標從小到大排序得到的序列：x1,x2,x3...,xn...

（2）數列極限的定義 當n無限增大時，對應的xn無限接近於某個確定的常數a，則稱數列{xn}收斂於a，否則稱數列{xn}發散。

1.2.2 數列極限的性質

（1）極限的唯一性

（2）收斂數列的有界性：如果數列收斂，那麽數列一定有界。

（3）收斂數列的保號性：如果數列收斂於a，且a>0(或a<0)，那麽存在整數N>0，當n>N時，都有xn>0(xn < 0)。

（4）收斂數列與其子數列的關系：收斂數列的子數列也一定收斂，且極限相同。

1.3 函數的極限

1.3.1 函數極限的定義

（1）自變量x的絕對值無限增大且趨於無窮大時函數的極限

對於任意給定的正數ε，總存在正數X，使得當x滿足不等式|x| > X時，對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x) - A| < ε。

趨向於正無窮，負無窮類似。

（2）自變量x趨於有限值時函數的極限

對於任意給定的正數ε，總存在正數δ，使得當x滿足0 < |x - x0| < δ時，對應的函數值f(x)滿足不等式|f(x) - A| < ε。

左極限、右極限類似。

1.3.2 函數極限的性質

（1）函數極限的唯一性

（2）函數極限的局部有界性

（3）函數極限的局部保號性

1.4 極限的運算法則

1.4.1 四則運算法則

求極限：0/0型未定式極限，設法消去分子分母中極限為零的公因式；∞ - ∞型未定式極限，可以通過通分化為0/0型未定式極限

1.4.2 復合運算法則

1.5 極限存在法則

1.5.1 夾逼原理

數列{xn},{yx},{zn}滿足：從某項起，存在n0∈N，當n>n0時，有yn<=xn<=zn，且yn,zn的極限相同為a，則數列xn存在極限a。

當x∈U(x0,r)（去心鄰域）（或|x| > M）時，有g(x) <= f(x) <= h(x)成立，且g(x),z(x)有相同的極限A，則f(x)存在極限A。

1.5.2 單調有界準則

單調遞增有上界或單調遞減有下界或單調有界數列必有極限。

函數f(x)在某個點的左鄰域內單調有界，則f(x)在x0左鄰域的極限必定存在。

右鄰域、趨向正負無窮的情況與上面類似。

1.5.3 Cauchy收斂準則

1.5.4 兩個重要的極限

（1）lim(x->0) sinx/x = 1（利用這個極限可以求許多與三角函數有關的未定式極限）

cosx < sinx / x < 1 => 0 < 1-sinx/x < 1-cosx = x*x / 2

（2）lim(x->∞)(1+1/x)^x = e

lim(n->∞) \(1+1/n)^n = e

1.6 無窮小與無窮大

1.6.1 無窮小

函數α(x)當x->x0或x->∞時的極限為零，那麽稱函數α(x)為x->x0或x->∞時的無窮小，或無窮小量。

f(x)的極限為A的充要條件是f(x) = A+α(x)，其中α(x)為無窮小。

1.6.2 無窮大

當x->x0或x->∞時，對應的函數值的絕對值|f(x)|無限增大，那麽稱函數f(x)為當x->x0或x->∞時的無窮大，或無窮大量。

1.6.3 無窮小與無窮大

f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1/f(x)為無窮大。

有限個無窮小的和是無窮小。

有限個無窮小的乘積是無窮小。

有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

常數與無窮小的乘積是無窮小。

有限個無窮大的乘積是無窮大。

無窮大與有界量之和為無窮大。

1.6.4 無窮小的比較

β(x)、α(x)均為無窮小，α(x) ≠ 0，極限β(x) / α(x)

高階無窮小：極限為0，記作β(x) = o(α(x))

低階無窮小：極限為∞

同階無窮小：極限為常數C（C≠0），記作β(x) = O(α(x))

k階無窮小：α(x)^k（k>0為常數）極限為C≠0

等價無窮小：極限為1

無窮小等價替換原理

1.7 函數的連續性

1.7.1 連續函數的定義

函數y = f(x)在x點x0的某一鄰域內有定義，如果lim(x->x0)f(x) = f(x0)，則稱函數y = f(x)在點x0連續。

左連續、右連續的定義類似上面。

1.7.2 函數的間斷點及其分類

y = f(x)如果不滿足下列三個條件之一，則稱函數y=f(x)在x0處不連續：

（1）在x0處沒有定義；

（2）有定義但是極限不存在

（3）有定義，極限存在，但是不等於f(x0)

不連續的點x0稱為不連續點或者間斷點。

左右極限都存在的間斷點稱為第一類，不是第一類的間斷點稱為第二類。

可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點、振蕩間斷點。

1.7.3 連續函數的運算與初等函數的連續性

（1）和、差、積、商連續

（2）復合函數及反函數連續

1.7.4 區間上連續函數的性質

（1）有界性與最大值最小值定理

如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上有界。

（2）對於定義在區間I上的函數f(x)，如果存在x0∈I，使得對於任一x∈I，有f(x) <= f(x0)或f(x) >= f(x0)，則稱f(x0)為區間I上的最大值或最小值，稱點x0是區間I上的最值點。

（3）閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值。

（4）零點定理與介值定理

如果點x0，使f(x0)=0，那麽稱x0為函數f(x)的零點。

如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號，那麽在開區間(a,b)內至少存在一點x0，使得f(,0) = 0。

如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)不相等，那麽f(a)與f(b)之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少存在一個點x0，使得f(x0) = C。

1.7.5 函數的一致連續性

高數上第一章知識點總結