概率論中的Chapman-Kolmogorov方程（或CKS方程）是指：https://en.wikipedia.org/wiki/Chapman%E2%80%93Kolmogorov_equation

$p_{n-1}(x_{n-1},t_{n-1};\ldots;x_2,t_2;x_1,t_1)=\int{p_n(x_n,t_n;x_{n-1},t_{n-1};\ldots;x_2,t_2;x_1,t_1)dx_n}$

其中被積量$x_{n}$叫作nuisance variable。

而對於Markov process，根據定義有：

$p_3(x_2,t_2;x,t;x_1,t_1)=q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|,x_1,t_1)p(x_1,t_1)$ (1)

對(1)關於變量x積分，可得：

$p_2(x_2,t_2;x_1,t_1)=p(x_1,t_1)\int{q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|x_1,t_1)dx}$ (2)

這裏$x$是nuisance variable。

而(2)中等式左邊的二階聯合概率密度根據條件概率的定義可寫成：

$p_2(x_2,t_2;x_1,t_1)=q(x_2,t_2|x_1,t_1)p(x_1,t_1)$ (3)

比較(2)和(3)可以推出Markov過程的CKS方程：

$q(x_2,t_2|x_1,t_1)=\int{q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|x_1,t_1)dx}$ (4)

Markov過程的CKS方程是支配轉移概率密度的積分方程，或者說轉移概率密度必須滿足的協調條件（compatibility condition）。

馬爾科夫過程的CKS方程的推導