隨機模擬(或者統計模擬)方法有一個很酷的別名是蒙特卡羅方法(Monte Carlo Simulation)。這個方法的發展始於20世紀40年代，和原子彈製造的曼哈頓計劃密切相關，當時的幾個大牛，包括烏拉姆、馮.諾依曼、費米、費曼、Nicholas Metropolis， 在美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室研究裂變物質的中子連鎖反應的時候，開始使用統計模擬的方法,並在最早的計算機上進行程式設計實現。

隨機模擬與計算機

現代的統計模擬方法最早由數學家烏拉姆提出，被Metropolis命名為蒙特卡羅方法，蒙特卡羅是著名的賭場，賭博總是和統計密切關聯的，所以這個命名風趣而貼切，很快被大家廣泛接受。被不過據說費米之前就已經在實驗中使用了，但是沒有發表。說起蒙特卡羅方法的源頭，可以追溯到18世紀，布豐當年用於計算π

π的著名的投針實驗就是蒙特卡羅模擬實驗。統計取樣的方法其實數學家們很早就知道，但是在計算機出現以前，隨機數生成的成本很高，所以該方法也沒有實用價值。隨著計算機技術在二十世紀後半葉的迅猛發展，隨機模擬技術很快進入實用階段。對那些用確定演算法不可行或不可能解決的問題，蒙特卡羅方法常常為人們帶來希望。

蒙特卡羅方法

統計模擬中有一個重要的問題就是給定一個概率分佈p(x)p(x)，我們如何在計算機中生成它的樣本。一般而言均勻分佈 Uniform(0,1)Uniform(0,1)的樣本是相對容易生成的。 通過線性同餘發生器可以生成偽隨機數，我們用確定性演算法生成[0,1][0,1]之間的偽隨機數序列後，這些序列的各種統計指標和均勻分佈 U

niform(0,1)Uniform(0,1) 的理論計算結果非常接近。這樣的偽隨機序列就有比較好的統計性質，可以被當成真實的隨機數使用。

生成一個概率分佈的樣本

而我們常見的概率分佈，無論是連續的還是離散的分佈，都可以基於Uniform(0,1)Uniform(0,1) 的樣本生成。例如正態分佈可以通過著名的 Box-Muller 變換得到

[Box-Muller 變換]  如果隨機變數 U1,U2U1,U2 獨立且U1,U2∼Uniform[0,1]U1,U2∼Uniform[0,1]，

Z0Z1=−2lnU1−−−−−−−√cos(2πU2)=−2lnU1−−−

−−−−√sin(2πU2)Z0=−2ln⁡U1cos(2πU2)Z1=−2ln⁡U1sin(2πU2)
則 Z0,Z1Z0,Z1 獨立且服從標準正態分佈。

其它幾個著名的連續分佈，包括指數分佈、Gamma 分佈、t 分佈、F 分佈、Beta 分佈、Dirichlet 分佈等等,也都可以通過類似的數學變換得到；離散的分佈通過均勻分佈更加容易生成。更多的統計分佈如何通過均勻分佈的變換生成出來，大家可以參考統計計算的書，其中 Sheldon M. Ross 的《統計模擬》是寫得非常通俗易懂的一本。

不過我們並不是總是這麼幸運的，當p(x)p(x)的形式很複雜，或者 p(x)p(x) 是個高維的分佈的時候，樣本的生成就可能很困難了。 譬如有如下的情況

• p(x)=p~(x)∫p~(x)dxp(x)=p~(x)∫p~(x)dx,而 p~(x)p~(x) 我們是可以計算的，但是底下的積分式無法顯式計算。
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