題目大意

給出一個$m$排$n$列的矩陣，求有多少個子矩陣滿足子矩陣內的數字和為$k$的倍數。$m,n<=400, k<=10^6$。

思路

先考慮簡單的問題。

把矩陣換為線段，子矩陣換為子線段。對於原序列$a$，很容易我們想到用序列$s$來維護區間的前綴和。若區間$[l,r]$內數字和為$k$的倍數，則$s_{r}-s_{l-1}$能整除以$K$。

以同余的觀念處理整除問題。

$(s_{r}-s_{l-1})\mod k=0$。由上式我們可以推出$s_{r}\equiv s_{l-1} (\mod K)$。所以以$r$為結尾的滿足條件的區間數$f(r)|\{i|i<r,s_{i}\equiv s_{r}(\mod K)\}|$。

反演的思想

我們可以考慮對所有的余數$r$設置一個數組$b$表示到當前存在的$s_{i}\mod K=r$的個數，從左到右枚舉下標$i$，則$f(i)=b(s_{i}\mod K)$，然後$b(s_{i}\mod K)++$。最終的結果就是$\sum f(i)$。註意：若$s_{i}\mod K=0$，則區間$[i,i]$也是一個解。故$b(0)=1$。

擴展到二維

枚舉上面的一排和下面的一排，把夾在兩排中間的列中數字和作為$a$即可。

註意

• 清空數組$b$（在代碼中指ModCnt）數據量很大，memset很慢。我們應當改了ModCnt的哪些值，就還原哪些值，不要全部處理。
• 以後盡量不要用MAX_N。數組大小設錯的後果是很嚴重的！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)
#define LoopFrom(i, l, r) for(int i=l; i<=r; i++)
#define ll long long

const int MAX_ROW = 410, MAX_COL = 410, MAX_MOD = 1000010;
ll Prefix[MAX_ROW][MAX_COL];
ll ModCnt[MAX_MOD];
ll Mods[MAX_COL];
ll TotRow, TotCol, K;

void Read()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &TotRow, &TotCol, &K);
	LOOP(row, TotRow)
	{
		LOOP(col, TotCol)
		{
			scanf("%lld", &Prefix[row][col]);
			Prefix[row][col] += Prefix[row - 1][col] + Prefix[row][col - 1] - Prefix[row - 1][col - 1];
		}
	}
}

ll Proceed()
{
	ll ans = 0;
	LOOP(rowUp, TotRow)
	{
		LoopFrom(rowDown, rowUp, TotRow)
		{
			//memset(ModCnt, 0, sizeof(ModCnt));
			ModCnt[0] = 1;
			LOOP(col, TotCol)
			{
				ll colPrefix = Prefix[rowDown][col] - Prefix[rowUp - 1][col];
				Mods[col] = colPrefix % K;
				ans += ModCnt[Mods[col]]++;
			}
			LOOP(col, TotCol)
				ModCnt[Mods[col]] = 0;
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ll ans = 0;
	Read();
	printf("%lld\n", Proceed());
	return 0;
}

luogu3941 入陣曲