Part I 靜態主席樹

定義

主席樹最基礎可以維護區間K大的問題，由於其本質是可持久化線段樹，所以要對線段樹有很深的理解。

栗子：區間第K小

首先這種處理區間的問題肯定要想到區間數據結構。顯然如果是指定了區間，可以把讀入的數據離散化，然後建一顆值域線段樹。

但是要在任意的[l,r]中查詢第k小，一些大神就想到了前綴和。

首先建N顆線段樹,第i棵維護區間a1-ai的每個數的出現個數。

此時值域線段樹的結構都要保證完全相等，這樣這些線段樹就具有了可減性，就可以用前綴和維護了。

那這樣就要建N棵線段樹，空間無法承受。

我們可以輕易發現，維護a1-ai和a1-ai+1的線段樹，的每一個非葉節點的子樹有一半的結構都是相等的，如果能夠只修改一半，空間的問題就會解決。

那如何處理空間了

比如說對於一個數1926,817,1989,604，首先離散化

於是 1926 就等價於3,以此類推。

那按照剛才的思路，我們可以先建一棵樹維護a1-a1

如下圖

圓圈中的數字代表線段樹維護的東西，也就是在這個區間內的數有多少個。

這個時候我們考慮建a1-a2的線段樹，如果重新建這棵樹會變成這樣

對比前一棵樹，我們發現幾乎一半的結構都是相同的。（圈出來的即為相同）

那我們每次先新建一個根節點：

其中維護a1-ai的根節點為root_{i，如下圖}

我們每一棵節點都要記錄他左右兒子的編號（後面會解釋）。

這樣我們可以用讓root2的右兒子的編號等於root1右兒子的編號相同的方式使root2的右兒子等於root1的左兒子且節約空間

個人感覺有點像鏈表：

這樣要修改的節點就大大減少了。

至於為什麽要記錄每個節點的左右兒子編號，正是因為主席樹有一半的結構來源與前一棵樹，這是這個節點與先前那個節點不構成線段樹中i*2和i*2+1的關系

對於查詢，我們要利用到前綴和：

對於查詢，首先對於這棵子樹查詢K大：

我們只需要關註這棵子樹的左子樹出現的數的個數總和與K的大小關系：

如果小的話：在左子樹查K小

如果大的話：往右子樹查（k-左子樹總和）小

那怎麽知道L-R的個數：

前綴和，首先結構相同自然可以直接減啦！

至此靜態主席樹求靜態第K小就搞定了，下面結合代碼（非常醜陋）：

#include<bits/stdc++.h>

using
 
 namespace std;

const int MAXN = 2 * 100000 + 10;

inline int read()
{
    int f = 1 ,x = 0;
    char ch;
    do
    {
        ch =getchar();
        if(ch==‘-‘) f = -1;
    }while(ch<‘0‘||ch>‘9‘);
    do
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;
        ch = getchar();
    }while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘);
    return f*x;
}

int n,m;

struct node
{
    int val;
    int id;
    friend bool operator < (node a1,node a2)
    {
        return a1.val<a2.val;    
    } 
};

node a[MAXN];

int c[MAXN];

struct Tree
{
    int lc;
    int rc;
    int sum;
    Tree()
    {
        sum = 0;    
    } 
};

Tree tree[MAXN*20];

int root[MAXN];

int cnt =0;

inline void init()
{
    root[0]=0;
    tree[0].lc=tree[0].rc=0;
    tree[0].sum=0;
    return;
}

inline void update(int num,int &rt ,int l,int r)
{
    tree[++cnt]=tree[rt];
    rt = cnt;
    tree[rt].sum++;
    if(l==r) return;
    int mid = (l+r)>>1;
    if(num<=mid) update(num,tree[rt].lc,l,mid);
    else update(num,tree[rt].rc,mid+1,r);
}

inline int query(int l,int r,int k,int x,int y)
{
    int now = tree[tree[r].lc].sum-tree[tree[l].lc].sum;
    if(x==y) return x;
    else
    {
        int mid = (x+y)>>1;
        if(now>=k)
        {
            return query(tree[l].lc,tree[r].lc,k,x,mid);    
        } 
        else return query(tree[l].rc,tree[r].rc,k-now,mid+1,y);
    } 
}

int main()
{
    n = read();
    m = read();
    
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].val=read(),a[i].id = i;
    
    sort(a+1,a+n+1);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[a[i].id]=i;
    }
    
    init();
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        root[i]=root[i-1];
        update(c[i],root[i],1,n);
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int L =read();
        int R = read();
        int k=read();
        printf("%d\n",a[query(root[L-1],root[R],k,1,n)].val);
    }
}

後面有空再填

主席樹學習筆記