【BZOJ1061】【NOI2008】誌願者招募

題面

BZOJ

題解

我們設每類誌願者分別招募了\(B[i]\)個

那麽，我們可以得到一系列的方程

\[\sum_{S[i]\leq x\leq T[i]}B[i]\geq A[x]\]

一共\(n\)天，所以是\(n\)個方程

因為有不等式讓我們很不爽，所以換成等式。

這裏，設\(y[i]\)表示第\(i\)天多招募的人數

這樣，方程變成了

\[(\sum_{S[i]\leq x\leq T[i]}B[i])-y[i]=A[x]\]

所以我們得到了一個方程組
\[\begin{cases}0&=0\\\sum_{S[i]\leq 1\leq T[i]}B[i]-y[1]&=A[1]\\ \sum_{S[i]\leq 2\leq T[i]}B[i]-y[2]&=A[2]\\...\\\sum_{s[i]\leq n\leq T[i]}B[i]-y[n]&=A[n]\\0&=0\end{cases}\]

如果我們對於相鄰的兩個方程做差，得到\(n-1\)個方程，

這樣每一類誌願者就只會在兩個方程中出現過

所以，方程組變成了

\[(\sum_{S[i]=x}B[i]-\sum_{T[i]+1=x}B[i])-y[x]+y[x-1]=A[x]-A[x-1]\]

這樣一個等式很像流量平衡

所以我們考慮如何連邊？

我們把\(+\)看成流入，\(-\)看成流出

這樣子相當於每天就是一個點

前面兩個\(\sum\)的差，相當於從\(S[i]\)流入，向\(T[i]+1\)流出

也就是如果這個點作為一類誌願者的\(S[i]\)那麽他就會流入一定的流

如果作為一個誌願者的\(T[i]+1\)

而\(-y[x]+y[x-1]\)相當於從前一天多出來的誌願者可以流入，然後可以向後一天流出

右邊如果非零的話，可以看做從源（匯）點流入（出）

如果大於零則證明流入多於流出，則多出來的流流向匯點

如果小於零則證明流出多於流入，則多出來的流從源點流入

這樣建圖就可以跑費用流了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
 

#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1111
#define inf 1000000000
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,m,a[MAX];
struct Line{int v,next,w,fy;}e[50000];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w,int fy)
{
    e[cnt]=(Line){v,h[u],w,fy};h[u]=cnt++;
    e[cnt]=(Line){u,h[v],0,-fy};h[v]=cnt++;
}
bool vis[MAX];
int S,T;
ll Cost,dis[MAX];
bool SPFA(int S,int T)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,63,sizeof(dis));
    queue<int> Q;Q.push(S);
    dis[S]=0;vis[S]=true;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
        {
            if(!e[i^1].w)continue;
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]-e[i].fy)
            {
                dis[v]=dis[u]-e[i].fy;
                if(!vis[v])vis[v]=true,Q.push(v);
            }
        }
        vis[u]=false;
    }
    if(dis[T]>=1e18)return false;
    return true;
}
int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==T||!flow)return flow;
    int ret=0;vis[u]=true;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v;
        if(!vis[v]&&e[i].w&&dis[v]==dis[u]-e[i].fy)
        {
            int d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
            e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;flow-=d;ret+=d;
            if(!flow)break;
        }
    }
    return ret;
}
int main()
{
    n=read();m=read();S=0;T=n+2;
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n+1;++i)
    {
        if(a[i]-a[i-1]>=0)Add(i,T,a[i]-a[i-1],0);
        else Add(S,i,a[i-1]-a[i],0);
        if(i<=n)Add(i,i+1,inf,0);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int S=read(),T=read(),C=read();
        Add(T+1,S,inf,C);
    }
    while(SPFA(T,S))Cost+=1ll*dis[S]*dfs(S,inf);
    printf("%lld\n",Cost);
    return 0;
}

【BZOJ1061】【NOI2008】誌願者招募