緣起

　　最近在看卡耐基梅隆大學的【深入理解計算機系統實驗】之datalab時，遇到一個題目：

 1 /* 
 2  * divpwr2 - Compute x/(2^n), for 0 <= n <= 30 
 3  *  Round toward zero 
 4  *   Examples: divpwr2(15,1) = 7, divpwr2(-33,4) = -2 
 5  *   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >> 
 6  *   Max ops: 15 
 7  *   Rating: 2 
 8  */  
 9 int
 
 divpwr2(int x, int n) {  
10 
11 } 

即只能用題目提供的操作實現 x/(2^n) 的計算。對於正數，沒什麽可說的，直接x>>n即可。

但是負數也是這樣嗎，仔細一看，才發現 x/(2^n) 和 x>>n不是一回事。

比如 -33/(2^4) = -2, 但是另一方面，-33的編碼為0xFFFFFFDF，右移4位變成0xFFFFFFFD，即-3，顯然不一致。

思考中的犯傻

　　對於上述問題，在做最後的解釋前，先插入一段我的思考過程，主要是記錄其中的犯傻之處。

由於計算機中整數的表示法為 2的補碼（two‘s complemet representation）

其中s為符號位，x為其他位，N為位數。

對於正數，s為0，只剩後面的求和項，除以(2^n)的話，從公式上看確實是直接右移n位即可。

接著這個思路，我就想，那麽負數除以(2^n)等於：

其中第二項跟正數一樣，右移n位即可，第一項是什麽呢？c語言中的int類型位數太長，這裏簡單以8位代替。

-2^（8-1） = -128(十進制) = 1000 0000（二進制）

-2^（8-1-1）= -64(十進制) = 1100 0000（二進制）

-2^（8-1-2）= -32(十進制) = 1110 0000（二進制）

也就是說，前面說的第一項其實也是原式的第一項右移n位。所以，總體來說負數除法也是右移。

但是，這個結論顯然與-33/(2^4)那個例子矛盾，可是錯誤在哪兒呢？

其實，錯誤就在於把x掰開成兩個，然後整除2^n，在把結果加起來，這個過程與x直接整除2^n是不等價的。

比如：6/2=3,但是 3/2+3/2=1+1=2。雖然錯誤很明顯，但是一開始思考的時候卻犯傻了。

原因應該是什麽

負數除法與移位不同的原因用下面一張圖就能說明白：

　　如圖所示，中間是一條數軸，數軸上面是x與x/(2^4)的對應關系，下面是x與x>>4的對應關系，

設 x/(2^4)=f(x)>>4，那麽從上圖可以看出，當x/(2^4)得到-1時，f(x)>>4為了得到-1，f(x)要比x向右移動15，或2^4-1。

圖中具體是-16->-1或者-31->-16。

　　因此，x / (2^n) = (x + (2^n-1)) >> n，所以，datalab那個題目的答案可以是：

1 int divpwr2(int x, int n) {  
2     //all zeros or all ones  
3     int signx=x>>31;  
4     //int mask=(1<<n)+(-1);  
5     int mask=(1<<n)+(~0);  
6     int bias=signx&mask;  
7     return (x+bias)>>n;  
8 } 

參考文章：

（1）負數的除法和右移的區別；

（2）datalab 深入理解計算機系統實驗。

計算機編碼--為什麽整數中負數的除法和右移不是一回事