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2018年全國卷Ⅱ卷文科數學解析[陜]

阿新 • • 發佈：2018-06-17
對稱軸 font 兩個 退出 本質 大小 都是 mat lds

從一個數學老師的角度來解析2018高考，結合學生的實際學情，給出學習建議。

一、選擇題

№01【題文】 $i(2+3i)=$【$\hspace{2em}$】
A.$3-2i\hspace{4em}$ B. $3+2i\hspace{4em}$ C. $-3-2i\hspace{4em}$ D.$-3+2i\hspace{4em}$
【解析】$i(2+3i)=-3+2i$，故選D，送分題。
【說明】文科考查復數的乘法運算，理科考查復數的除法運算。
№02【題文】 已知集合$A=\{1，3，5，7\}$，$B=\{2，3，4，5\}$，則$A\cap B=$【$\hspace{2em}$】
A.$\{3\}\hspace{4em}$ B. $\{5\}\hspace{4em}$ C. $\{3，5\}\hspace{4em}$ D.$\{1，2，3，4，5，7\}\hspace{4em}$
【解析】$A\cap B=\{3，5\}$，故選C，送分題。
№03【題文】 函數$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$圖像大致是【$\hspace{2em}$】。
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【分析】本題目考查函數圖像的辨析，需要利用函數的性質求解，函數的性質常包含定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、特殊值、駐點等等，具體要用到哪些性質往往因題目而異。
解法1由題目先分析函數的奇偶性，設$g(x)=e^x-e^{-x}$，則$g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)$，即函數$g(x)$為奇函數，又函數$y=x^2$為偶函數，故函數$f(x)$為奇函數，排除選項A；
再由特殊值法，令$x=3$，則估算$f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2$，排除C、D；
故選B。
解法2還可以利用奇偶性和單調性來解析本題目，奇偶性如上所述；
單調性，$f‘(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}$，接下來常規方法是判斷其在$x>0$時的準確的單調區間，這時候不但麻煩，而且已經將題目變成了做函數圖像的方法了，不是辨析函數圖像的方法，
此時我們觀察可以看到當$x>
2$時，$f‘(x)>0$，故函數$f(x)$在$(2，+\infty)$上單調遞增，故排除C和D，從而選B。
反思1、弄清楚題目的類型和相應的解法思路是非常必要的。
2、函數的奇偶性的判斷中，有一個常用的方法就是利用性質，比如$奇+奇=奇，奇\times奇=偶，奇\times偶=奇，奇/偶=奇$，這些常見的結論一般的高三復習資料上都會有的。
建議常見函數的奇偶性需要記憶比如，
$f(x)=|x|$，$f(x)=e^x+e^{-x}$，$f(x)=Acos\omega x$都是偶函數；
$y=x^3$，$y=e^x-e^{-x}$，$y=Asin\omega x$都是奇函數。
№04【題文】 已知向量$\vec{a}，\vec{b}$滿足$|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，則$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\hspace{4em}$ B. $3\hspace{4em}$ C. $2\hspace{4em}$ D.$0\hspace{4em}$
【解析】$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times1+1=3$，故選B，送分題。
№05【題文】 從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區服務，則選中的2人都是女同學的概率是【$\hspace{2em}$】
A.$0.6\hspace{4em}$ B. $0.5\hspace{4em}$ C. $0.4\hspace{4em}$ D.$0.3\hspace{4em}$
【解析】【文科】兩個男生記為$A，B$，三個女生記為$a，b，c$，則從5個同學中任選2個同學參加服務，
可以列舉得出共有10種結果$(A，B)$，$(A，a)$，$(A，b)$，$(A，c)$，$(B，a)$，$(B，b)$，$(B，c)$，$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，
其中2人都是女同學的共有3種$(a，b)$，$(a，c)$，$(b，c)$，，故$P=\cfrac{3}{10}=0.3$，故選D，送分題。
【理科】$P=\cfrac{C_3^2}{C_5^2}=\cfrac{3}{10}=0.3$。
【建議】對文科學生而言，從5(6個或7個)個學生中任選2個(3個)的列舉方法和結果，需要非常熟練快速準確才行。
№06【題文】 雙曲線$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，則其漸近線方程為【$\hspace{2em}$】
A.$y=\pm\sqrt{2}x \hspace{4em}$ B. $y=\pm\sqrt{3}x \hspace{4em}$ C. $y=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}x \hspace{4em}$ D.$y=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \hspace{4em}$
【解析】由已知$e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}$，則有$c=\sqrt{3}k(k>0)$，$a=k$，從而$b=\sqrt{2}k$，
由$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$，得到其漸近線方程為$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$，即$y=\pm\cfrac{b}{a}x=\pm\cfrac{\sqrt{2}k}{k}x=\pm\sqrt{2}x$，故選A。
【建議】巧妙記憶：雙曲線$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0$；
№07【題文】 在$\Delta ABC$中，$cos\cfrac{C}{2}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，則$AB=$【$\hspace{2em}$】
A.$4\sqrt{2} \hspace{4em}$ B. $\sqrt{30} \hspace{4em}$ C. $\sqrt{29} \hspace{4em}$ D.$2\sqrt{5}\hspace{4em}$
【解析】由降冪升角公式得到，$cosC=2cos^2\cfrac{C}{2}-1=-\cfrac{3}{5}$，
再由余弦定理可得，$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot cosC$
$=25+1-2\times 5\times 1\times(-\cfrac{3}{5})=32$，故$AB=4\sqrt{2}$，選A。
№08【題文】 為計算$S=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cdots+\cfrac{1}{99}-\cfrac{1}{100}$，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入【$\hspace{2em}$】
技術分享圖片A.$i=i+1\hspace{4em}$ B. $i=i+2\hspace{4em}$ C. $i=i+3\hspace{4em}$ D.$i=i+4\hspace{4em}$
【解法1】先按照循環次序執行看看，
$Step1，1<100，是，N=0+\cfrac{1}{1}，T=0+\cfrac{1}{2}$，
若$i=i+1$，
則$Step2，2<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}$，若最後退出循環，則$S=N-T$中就沒有$-\cfrac{1}{2}$，故$i=i+1$錯誤；
若$i=i+2$，
則$Step2，3<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}$，
則$Step3，5<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}$，若最後退出循環，則$S=N-T$剛好滿足題意，故$i=i+2$正確；
同理，若$i=i+3$，若$i=i+4$，最後都會推出錯誤，故選B；
【解法2】(此方法思維要求高些)註意到$S$中的表達式特點是一正一負相間出現，分母是連續的自然數，故$N$計算的是分母是正奇數的分數，間隔為2，$T$計算的是分母是正偶數的分數，間隔為2，最後由$S=N-T$完成組合，滿足題意，故選$i=i+2$，選B；
№09【題文】 在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為棱$CC_1$的中點，則異面直線$AE$與$CD$所成角的正切值為【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{5}}{2}\hspace{4em}$ D.$\cfrac{\sqrt{7}}{2}\hspace{4em}$
技術分享圖片【解法1】連結$BE$，由於$CD//AB$，故$\angle BAE$即為兩異面直線所成的角，
令正方體的棱長為2，由$CE=1，BC=2$，可知$BE=\sqrt{5}$，又對角線$AC=2\sqrt{2}$，$CE=1$，則$AE=3$
在$Rt\Delta ABE$中，$AB=2，BE=\sqrt{5}$，則$tan\angle BAE=\cfrac{\sqrt{5}}{2}$，故選C。
【建議】1、異面直線所成的角，需要先平移其中一條，變為共面直線所成的角，如果要求其大小，可以放置在某個三角形中，通過解三角形完成；
2、棱長設為2的運算量和運算難度比棱長設為1要小一些。
【解法2】空間向量法。感覺比法1要慢一些。
№10【題文】 若$f(x)=cosx-sinx$在$[0，a]$上是減函數，則$a$的最大值是【$\hspace{2em}$】
A.$\cfrac{\pi}{4}\hspace{4em}$ B. $\cfrac{\pi}{2}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{3\pi}{4}\hspace{4em}$ D.$\pi\hspace{4em}$
【解法1】由題目可知，$f‘(x)=-sinx-cosx\leq 0$在$[0，a]$上恒成立，即$sinx+cosx\ge 0$在$[0，a]$上恒成立，
即$sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\ge 0$在$[0，a]$上恒成立，將4個選項代入驗證，滿足題意的是選項C，故選C。
【解法2】圖像法，做出函數圖像，觀察發現，$a$的最大值是$\cfrac{3\pi}{4}$，故選C。
№11【題文】 已知$F_1，F_2$是橢圓$C$的兩個焦點，$P$是$C$上一點，若$PF_1\perp PF_2$，且$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$，則$C$的離心率是【$\hspace{2em}$】
A.$1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}$ B. $2-\sqrt{3}\hspace{4em}$ C. $\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\hspace{4em}$ D.$\sqrt{3}-1\hspace{4em}$
【解析】自行做出示意圖，有圖可知，在$Rt\Delta PF_1F_2$中，$\angle F_1PF_2=90^{\circ}$，$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$，$F_1F_2=2c$，故$PF_2=c$，$PF_1=\sqrt{3}c$，
由橢圓的定義可知，$|PF_1|+|PF_2|=2a$，即$c+\sqrt{3}c=2a$，解得$e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$，故選D。
【建議】用圓錐曲線的定義解題，是高考中的一個高頻考查方式。
№12【題文】已知函數$f(x)$是定義在$(-\infty，+\infty)$上的奇函數，滿足$f(1-x)=f(1+x)$，若$f(1)=2$，則$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$【$\hspace{2em}$】。
A.$-50\hspace{4em}$ B.$0\hspace{4em}$ C.$2\hspace{4em}$ D.$50$
【解析】先將奇函數性質改寫為，$f(x)=-f(-x)①$；再將對稱性$f(1-x)=f(1+x)$改寫為$f(2-x)=f(x)②$，
由①②式可知，$f(2-x)=-f(-x)$，即$f(2+x)=-f(x)$，故$T=2\times 2=4$，
這樣$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)$，接下來就是重點求這些函數值；
由於函數是定義在$R$上的奇函數，故$f(0)=0$，則$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，
令$x=0$，則由$f(2-x)=-f(-x)$可得到$f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0$，即$f(2)=0$，
$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，故$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，
即所求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=2$，故選C
【建議】熟練掌握以下的變形和數學思想方法：
比如對稱性+奇偶性$\Longrightarrow$周期性的變形例子
如，已知函數$f(x)$是奇函數，且滿足$f(2-x)=f(x)$，
則由$\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$周期$T=4$
奇偶性+周期性$\Longrightarrow$對稱性的變形例子
如，已知函數$f(x)$是奇函數，且滿足$f(x+4)=-f(x)$，
則由$\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$對稱軸是$x=2$
對稱性+周期性$\Longrightarrow$奇偶性的變形例子
如，已知函數$f(x)$的周期是2，且滿足$f(2+x)=f(-x)$，
則由$\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow$函數$f(x)$是偶函數。

二、填空題

№13【題文】 曲線$y=2lnx$在點$(1，0)$處的切線方程是________________。
【解析】$f‘(x)=\cfrac{2}{x}$，則$k=f‘(1)=2$，又切點為$(1，0)$，故切線方程為$y-0=2(x-1)$，即$y=2x-2$，送分題。
【說明】在點處的切線和過點處的切線是有很大區別的。曲線的切線
№14【題文】 若$x，y$滿足約束條件$\begin{cases}x+2y-5\ge 0\\x-2y+3\ge 0\\x-5\leq 0\end{cases}$，則$z=x+y$的最大值是___________。
【解析】線性規劃題目中的最基礎的考查題型，做出可行域，通過平移目標直線就可以作答。提示：$z_{max}=9$
還有的同學直接求出三角形可行域三個頂點坐標代入，驗證得到答案，對於這類題目此方法也是可行的。但不建議用這個方法，畢竟不利於對數學本質的理解。
【建議】1、關於線性規劃題目，這幾年的高考題目幾乎就考查到這個難度(直線的截距型)，一般我們平時訓練題目難度都比這個類型要難一些，比如斜率型，距離型等。
2、建議看看這篇博文，線性規劃相關
№15【題文】 已知$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$，則$tan\alpha$=______________。
【解析】本題目是三角函數求值中的給值求值類型，而且是比較簡單的類型，只需要將已知條件化簡，$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$，
即$tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-tan\cfrac{\pi}{4}}{1+tan\alpha\cdot tan\cfrac{\pi}{4}}=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=\cfrac{1}{5}$，
解方程即可得到$tan\alpha=\cfrac{3}{2}$。
【建議】1、三角函數中的給值求值類型，三角函數的求值
2、$tan\alpha$的給出方式，$tan\alpha$的各種可能給出方式
№16【題文】已知圓錐的頂點為$S$，母線$SA，SB$互相垂直，$SA$與圓錐底面所成角為$30^{\circ}$，若$\Delta SAB$的面積為8，則該圓錐的體積為___________。
技術分享圖片【解析】設圓錐的母線長為$x$，底面半徑為$r$，則由等腰直角三角形$S_{\Delta SAB}=8=\cfrac{1}{2}x^2$，解得$x=4$，
又在$Rt\Delta SAO$中，$SA=4$，$\angle SAO=30^{\circ}$，則$OA=r=2\sqrt{3}$，$SO=2$
則$V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot SO=\cfrac{1}{3}\cdot \pi (2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi$。

三、解答題

№21【題文】 題目暫略。

【解析】\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)\)，

當\(a=3\)時，\(f'(x)=x^2-3(2x+1)，\) 令\(f'(x)=0\)，則\(x=3\pm 2\sqrt{3}\)，

則\(x<3-2\sqrt{3}\)或\(x>3+2\sqrt{3}\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；

\(3-2\sqrt{3}<x<3+2\sqrt{3}\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減；

故單調遞增區間為\((-\infty，3-2\sqrt{3})\)和\((3+2\sqrt{3}，+\infty)\)，單調遞減區間為\((3-2\sqrt{3}，3+2\sqrt{3})\)。

網上的參考答案

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