• 前言

  在做一些樹上路徑修改&查詢相關題目時，有時我們用不著樹鏈剖分，類比於序列上的差分，我們可以進行樹上差分，不過情況稍有些不同，分為點值上的差分和邊權上的差分兩種

• 點值差分

  對樹上路徑\(path(x,y)\)進行點值差分方法：

  \(tag[x]++,tag[y]++,tag[lca(x,y)]-=2\)

  詢問\(x\)被多少個標記覆蓋時進行\(dfs\),將\(x\)所有子樹節點\(tag[]\)之和加上\(tag[x]\)即使被覆蓋數目

  例題：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3128

  代碼：

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <cstdio>
  #include <cstdlib>
  #include <cstring>
  #include <cctype>
  #include <cmath>
  #include <ctime>
  #include <algorithm>
  #define ll long long 
  #define ri register int 
  using namespace std;
  const int maxn=50005;
  const int inf=0x7fffffff;
  template <class T>inline void read(T &x){
     x=0;int ne=0;char c;
     while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
     x=c-48;
     while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
     x=ne?-x:x;
     return ;
  }
  int n,k;
  struct Edge{
     int ne,to;
  }edge[maxn<<1];
  int h[maxn],num_edge=0;
  inline void add_edge(int f,int to){
      edge[++num_edge].ne=h[f];
      edge[num_edge].to=to;
      h[f]=num_edge;
      return ;
  }
  int cnt=0;
  int dep[maxn],fa[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],size[maxn];
  int sum[maxn];
  int L,R,dta;
  void dfs_1(int now){
      int  v;
      size[now]=1;
      for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
          v=edge[i].to;
          if(v==fa[now])continue;
          dep[v]=dep[now]+1,fa[v]=now;
          dfs_1(v);
          size[now]+=size[v];
          if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
      }
      return ;
  } 
  void dfs_2(int now,int t){
      int v;
      top[now]=t,dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;
      if(!son[now])return ;
      dfs_2(son[now],t);
      for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
            v=edge[i].to;
            if(v==fa[now]||v==son[now])continue;
            dfs_2(v,v);
      }
      return ;
  }
  void update_lca(int x,int y){
       while(top[x]!=top[y]){
               if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
               x=fa[top[x]];
       }
       if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
       sum[x]--,sum[fa[x]]--;
       return ;
  }
  int ans=-inf;
  void dfs_3(int now){
   int v;
   for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
       v=edge[i].to;
       if(v==fa[now])continue;
       dfs_3(v);
       sum[now]+=sum[v];
   }
   ans=max(ans,sum[now]);
   return ;
  }
  int main(){
    int x,y,z;
    //double st=clock();
    read(n),read(k);
    for(ri i=1;i<n;i++){
            read(x),read(y);
            add_edge(x,y);
            add_edge(y,x);
    }  
    dep[1]=1,fa[1]=0;
    dfs_1(1);
    dfs_2(1,1);
    for(ri i=1;i<=k;i++){
            read(x),read(y);
            sum[x]++,sum[y]++;
            update_lca(x,y);
    }
    //double ed=clock();
    dfs_3(1);
    printf("%d\n",ans);
    //printf("%lf\n",ed-st);
    return 0;
  }
   
  

• 邊權差分

  對樹上路徑\((x,y)\)進行差分方法：（註意\(x,y\)這裏還是節點）

  \(tag[x]++,tag[y]++,tag[lca(x,y)]--,tag[fa[lca(x,y)]]--\)

  詢問\(x\)被多少標記覆蓋方法同上,然而註意！！

  解決相關問題時不能把\(tag[root]\)算進貢獻，因為它沒有後繼的邊

  例題：http://poj.org/problem?id=3417

  代碼：

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <cstdio>
  #include <cstdlib>
  #include <cstring>
  #include <cctype>
  #include <cmath>
  #include <ctime>
  #include <algorithm>
  #define ll long long 
  #define ri register int 
  using namespace std;
  const int maxn=100005;
  const int inf=0x7fffffff;
  template <class T>inline void read(T &x){
      x=0;int ne=0;char c;
      while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
      x=c-48;
      while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
      x=ne?-x:x;
      return ;
  }
  struct Edge{
     int ne,to;
  }edge[maxn<<1];
  int h[maxn],num_edge=0,n,m;
  inline void add_edge(int f,int t){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=t;
    h[f]=num_edge;
    return ;
  }
  int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],dfn[maxn],sum[maxn],son[maxn],top[maxn];
  void dfs_1(int now){
    int v;
    size[now]=1;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa[now])continue;
        fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;
        dfs_1(v);
        size[now]+=size[v];
        if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
    }
    return ;
  }
  void dfs_2(int now,int t){
    int v;
    top[now]=t;
    if(!son[now])return ;
    dfs_2(son[now],t);
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa[now]||v==son[now])continue;
        dfs_2(v,v);
    }
  }
  int ans;
  void dfs_3(int now){
    int v;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa[now])continue;
        dfs_3(v);
        sum[now]+=sum[v];
    }
    //cout<<sum[now]<<endl;
    if(now!=1&&sum[now]==0)ans+=m;
    else if(now!=1&&sum[now]==1)ans++; 
    return ;
  }
  void update_path(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    sum[x]-=2;
    return;
  }
  int main(){
    int x,y,z;
    read(n),read(m);
    for(ri i=1;i<n;i++){
        read(x),read(y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
    }
    fa[1]=0,dep[1]=1;
    dfs_1(1);
    dfs_2(1,1);
    for(ri i=1;i<=m;i++){
        read(x),read(y);
        sum[x]++,sum[y]++;
        update_path(x,y);
    }
    dfs_3(1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
  }
   
  

• 例題待填坑

  • 貨車運輸

  • 天天愛跑步

學習筆記--樹上差分